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黑龙江省哈尔滨市第三中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(word版,有答案)

黑龙江省哈尔滨市第三中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(word版,有答案)

哈三中 2017—2018 学年度下学期

高二学年第一模块数学(文)试卷

考试说明:(1)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考

试时间为 120 分钟;

(2)第Ⅰ卷,第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)

1.学校为调查高二年级的 240 名学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:

第一种由教务处随机抽取 24 名同学进行调查;第二种由教务处对高二年级的学生进行编号,

从 001 到 240,抽取学号最后一位为 3 的同学进行调查,则这两种抽样方法依次为

A.分层抽样,简单随机抽样

B.简单随机抽样,分层抽样

C.分层抽样,系统抽样

D.简单随机抽样,系统抽样

2.已知由数字 1、2、3 组成无重复数字的三位数,则该数为偶数的概率为

A. 2

B. 1

C. 1

D. 1

3

4

3

2

3.下列命题中错误的是

A.样本数据的方差越小,则数据离散度越小;

B.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高;

C.相关系数 r 满足|r|≤1 且|r|越接近 1,线性相关程度越强,|r|越接近 0,线性相关程度

越弱;

D.相关指数越小,回归直线拟合效果越好.

4.从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则不含字母 a 的概率为

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

5

9

2

5

5. f ? x? ? 1 x2 ? x ? 2 ln x 的单调增区间是
2

A. ??1, ???

B. ?2, ???

C. ???, 2?

D. ???, ?1?

6.下面为某班数学测试成绩的茎叶图

根据茎叶图,得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论,错误的为

A.15 名女生成绩的众数为 80 B.17 名男生成绩的中位数为 80 C.男生成绩比较集中,整体水平稍高于女生

D.男生中的高分段比女生多,低分段比女生多,相比较男生两极分化比较严重 7.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间,将测试结果分成六组,得到频率分布直方图(如

图).设成绩小于 16 秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x,成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y,则从频 率分布直方图中可分析出 x 和 y 分别为

A.0.56,35

B.0.56,45

C.0.44,35

D.0.44,45

8.从 1 至 9 这 9 个自然数中任取两个

①恰有一个偶数和恰有一个奇数;

②至少有一个是奇数和两个数都是奇数;

③至多有一个奇数和两个数都是奇数;

③至少有一个奇数和至少有一个偶数.

在上述事件中,是对立事件的是

A.①

B.②④

C.③

D.①③

9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

广告费用 x(万元)

4

2

3

5

销售额 y(万元)

49

26

39

54

根据上表可得回归方程 y? ? b?x ? a? 中的 b? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额

为 A.84.9 万元

B.103.1 万元

C.93.7 万元

D.94.3 万元

10.一直函数 y ? f ? x? 的图象如左图所示,右侧四个图象中 y ? f '? x?(其中 f '? x? 是函数

f ? x? 的导函数)的图象大致是

A.

B.

C.

D.

11.函数

f

?x?

?

?

1

e ?

x
x

2

,若存在

x0

??0,2? 使得 m ?

f

?x0 ?

?

0 成立,则实数

m

的范围是

A.

? ??

?

1 5

e2

,

??

? ??

B. ??1, ???

C. ?1, ???

D.

? ??

?

1 2

e,

??

? ??

?

e|x|, ?2 ? x ? 1

12.函数

f

?

x?

?

? ? ? ?

x

?

1 x

?

e

?

2

,1 ?

x

?

e

?

,若关于
2

x

的方程

f

(x)

?

ax

?

0

有两个解,则

实数 a 的取值范围是

A.

? ?? ?

e2 2

,

?e

? ? ?

? ???

0,

?

e

1 ?2

?2

? ? ??

B. ???, ?e?

? ? ??

?e

1
? 2?2

,

??

? ???

?e?

C.

? ? ?

??,

?

e2 2

? ? ?

? ? ??

?e

1
? 2?2

,

??

? ???

?e?

D.

? ? ?

??,

?

e2 2

? ? ?

? ?e,
??

?e

1
? 2?2

? ???

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)

13.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了

了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 21

人,则样本容量为_________.

? ? 14.在区间 ?3,3 上随机取一个数 x,使得 x ?1 ? 1成立的概率为_________. 15.若函数 f ? x? ? x3 ? ax2 ? 3x ? 4a3 在 ???, ?1? , ?2, ??? 上都是单调增函数,则实数 a
的取值集合是_________.
16.已知 0 ? a ?1,?1? b ?1 ,则关于 x 的方程 x2 ? ax ? b2 ? 0 有实根的概率是________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题 10 分)
已知函数 f ? x? ? 1 x3 ? x2 ? 3x ? 5 .
3
(Ⅰ)求函数 f ? x? 单调区间;(Ⅱ)求证:方程 f ? x? ? 0 有三个不同的实数根.
18.(本题 12 分) 哈三中数学竞赛辅导班进行选拔性测试,且规定:成绩大于等于 110 分的有参加资格,110 分以下(不包括 110 分)的则淘汰.若现有 1500 人参加 测试,频率分布直方图如下: (Ⅰ)求获得参加资格的人数; (Ⅱ)根据频率直方图,估算这 1500 名学生测试的平均 成绩.

19.(本题 12 分)

教育部记录了某省 2008 到 2017 年十年间每年自主招生录取的人数.为方便计算,2008 年编

号为 1,2009 年编号为 2,......,2017 年编号为 10,以此类推.数据如下:

年份编号(x) 1

234

5

6

7

8

9 10

人数(y)

3

5 8 11 13

14 17 22

30 31

(Ⅰ)根据前 5 年的数据,利用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y ? b?x ? a? ,并计算第

8 年的估计值和实际值之间的差的绝对值; (Ⅱ)根据(Ⅰ)所得到的回归方程预测 2018 年该省自主招生录取的人数.

n

n

? ? 其中

^
b

?

? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1 n

?

xi yi ? nx y
i ?1 n

, a^ ?

^
y ?bx

? ? xi ? x ?2

? xi2 ? nx 2

i ?1

i ?1

20.(本题 12 分)
已知函数 f ? x? ? ln x ? x2 ? ax . (Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 y ? f ? x? 则 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ? x? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

21.(本题 12 分)

已知椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 2

,且经过点

? ???1,

3 2

? ???

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)直线 my=x-1 与椭圆交于不同的两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,求△ABO 面积的最大值.

22.(本题 12 分)
已知函数 f ? x? ? ax ? ex ?1, (Ⅰ)设 g ? x? ? f ? x? ? 1 x3 ? x2 ? ex ? 4 试讨论 g ? x? 在 ??2, ??? 的单调性;
3
(Ⅱ)ln 3是 f ? x? 的一个极值点,设曲线 y ? f ? x? 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P
处的切线为直线 l .求证:曲线 y ? f ? x? 上的点都不在直线 l 的上方.

哈三中 2017—2018 学年度下学期

高二学年第一模块文科数学答案

一.选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

D

C

D

D

B

C

A

C

B

D

A

A

二.填空题

13.45 三.简答题

14. 2 3

15.

? ??

?3,

15 4

? ??

16. 1 4

17.(1) f ? x? 的单调增区间是 ???, ?3? , ?1, ???; f ? x? 的单调减区间是 ??3,1?

(2)因为 f ??3? ? 4 ? 0 , f ?1? ? ? 20 ? 0 所以 f ? x? ? 0 有三个不同的实根
3

18.(1)225 (2)众数:80

平均数 78.48

19.(1)回归方程; y? ? 2.6x ? 0.2 ;1;

(2)28.8

20.(1) y ? ?2x ;(2) a ? ?1

21.(1)

x2 4

?

y2

? 1;(2)当

m=0

时 S?OAB 的最大值是

3 2

22.(1)当 a ?1时, g ? x? 在 ??2, ??? 上单调递增

? ? ? ? 当 0 ? a ?1时, g ? x? 在 ?2 , ?1? 1? a , ?1? 1? a , ? ? 上单调递增;

? ? 在 ?1? 1? a , ?1? 1? a 上单调递减

? ? ? ? 当 a ? 0 时, g ? x? 在 ?2, ?1? 1? a 上单调递减,在 ?1? 1? a, ?? 上单调递增

? ? (2)曲线 y ? f ? x? 在 P? x0,0? 处切线为 l : y ? 3? ex0 ? x ? x0 ? ? ? 令 g ? x? ? 3? ex0 ? x ? x0 ? ? ? F ? x? ? f ? x? ? g ? x? ? 3x ? ex ?1? 3? ex0 ? x ? x0 ?

? ? F '? x? ? 3 ? ex ? 3 ? ex0 ? ex0 ? ex

∴ F ? x? 在 ???, x0 ?增, ? x0, ???为减

F ? x? max

?

F

?x0 ?

?

f

?x0 ? ?

g ?x0 ?

?

0

∴ F ?x? ? f ?x? ? g ?x? ? 0,即 F ?x? ? g ?x?

即 y ? f ?x? 上的点都不在直线 l 的上方


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