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安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版4(优秀教案)

安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版4(优秀教案)

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆),提高

教学 目标

学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生 学习数学的兴趣. .掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,培养学

生转化、化归以及类比的能力.

教学 重、 难点

教学重点:了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点:表面积和体积计算公式的应用.

教学 准备

多媒体课件

一、导入新课:

被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔,在年巴黎埃菲尔铁塔落成前

的四千多年的漫长岁月中,胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在

四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量

如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔,真是一个

十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,塔底边长米,

塔高米,你能计算建此金字塔用了多少石块吗?

教学过 二、讲授新课: 程 提出问题 ①在初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及它们的

展开图(图),你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?

正方体及其展开图() 长方体及其展开图() 图

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,它们的展开图 是什么?如何计算它们的表面积? ③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积? ④联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并 且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是′,母线长为,你能计 算出它的表面积吗? ⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系? 活动:①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式. ②学生思考几何体的表面积的含义,教师提示就是求各个面的面积的和. ③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状. ④学生思考圆台的侧面展开图的形状. ⑤提示学生用动态的观点看待这个问题. 讨论结果:①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的 表面积就是各个面的面积的和.因此,我们可以把它们展成平面图形,利 用平面图形求面积的方法,求立体图形的表面积. ②棱柱的侧面展开图是平行四边形,其表面积等于围成棱柱的各个面的 面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于 围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成 的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. ③它们的表面积等于侧面积与底面积的和,利用它们的侧面展开图来求 得它们的侧面积,由于底面是圆面,其底面积直接应用圆的面积公式即 得.其中,圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形. 我们知道,圆柱的侧面展开图是一个矩形(图).如果圆柱的底面半径为, 母线长为,那么圆柱的底面面积为 π ,侧面面积为 π .因此,圆柱的表面 积 π π π ().





圆锥的侧面展开图是一个扇形(图).如果圆锥的底面半径为,母线长为, 那么它的表面积 π π π (). 点评:将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题基本 的、常用的方法. ④圆台的侧面展开图是一个扇环(图),它的表面积等于上、下两个底面 的面积和加上侧面的面积,即 π (′′).
图 ⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系: 圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下 底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台,观察它们的 侧面积,不难发现:
π 圆柱表 () ??r1?r?2 ?r? π 圆台表 (1l2l) ?r?1?0,?r2??r? 圆锥表 π ().
从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧 面积公式演变而来. 提出问题
①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式,你能将它们统一成一种 形式吗?并依次类比出柱体的体积公式?
②比较柱体、锥体、台体的体积公式: 柱体(为底面积,为柱体的高);
锥体 1 Sh (为底面积,为锥体的高); 3
台体 1 (S ? SS' ? S') (′分别为上、下底面积,为台体的高). 3
你能发现三者之间的关系吗?柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台 体?其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式? 活动:①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式. ②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系?

讨论结果:

①棱长为的正方体的体积 2a;

长方体的长、宽和高分别为,其体积为();

底面半径为高为的圆柱的体积是 π ,

可以类比,一般的柱体的体积也是,其中是底面面积,为柱体的高.

圆锥的体积公式是 1 Sh (为底面面积,为高),它是同底等高的圆柱的体 3

积的 1 . 3

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 1 ,即棱锥的体积 1 Sh (为底面

3

3

面积,为高).

由此可见,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高;棱锥与圆
锥的体积公式类似,都是底面面积乘高的 1 . 3
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的,因此可以利用两个锥体的
体积差,得到圆台(棱台)的体积公式 1 (′ S ' S ), 3
其中′,分别为上、下底面面积,为圆台(棱台)高.

注意:不要求推导公式,也不要求记忆.

②柱体可以看作是上、下底面相同的台体,锥体可以看作是有一个底面

是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当′时,台

体的体积公式变为锥体的体积公式;当′时,台体的体积公式变为柱体的

体积公式,因此,柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特

殊”形式.

柱体和锥体可以看作由台体变化得到,柱体可以看作是上、下底面相同

的台体,锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此很容易得出

它们之间的体积关系,如图:

图 应用示例

例 已知棱长为,各面均为等边三角形的四面体—(图),求它的表面积.

图 活动:回顾几何体的表面积含义和求法. 分析:由于四面体—的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面 积等于其中任何一个面面积的倍. 解:先求△的面积,过点作⊥,交于点.

因为 SB2 ? BD 2 ? a 2 ? ( a )2 ? 3 a , 22

所以△ 1 · 1 a ? 3 a ? 3 a 2 .

22 2

4

因此,四面体—的表面积× 3 a 2 ? 3a 2 . 4
点评:本题主要考查多面体的表面积的求法. 变式训练 .已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为,圆 柱侧面积为,求圆锥的侧面积. 解:设圆锥的母线长为,因为圆柱的侧面积为,圆柱的底面半径为,即圆
柱侧,根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为 S ,由题意 2?r
得圆锥的高为 S ,又圆锥的底面半径为,根据勾股定理,圆锥的母线 2?r
长 r 2 ? ( S )2 ,根据圆锥的侧面积公式得 2?r

π 圆锥侧 π ·· r 2 ? ( S )2 ? 4? 2r 4 ? S 2 .

2?r

2

.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分

成的三部分的体积的比是( )

∶∶

∶∶19C∶∶∶∶

分析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆

锥 底 面 半 径 之 比 为 ∶∶ , 于 是 自 上 而 下 三 个 圆 锥 的 体 积 之 比 为

( ? r 2h )∶[ ? (2r)2 ·]∶[ ? (3r)2 ·]∶∶,所以圆锥被分成的三

3

3

3

部分的体积之比为∶(-)∶(-)∶∶.

答案:

.三棱锥—的中截面是△1C,则三棱锥—1C 与三棱锥—的体积之比是

()

∶∶4C∶∶

分析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面

积之比为∶,将三棱锥—转化为三棱锥—,这样三棱锥—1C 与三棱锥—

的高相等,底面积之比为∶,于是其体积之比为∶.

答案:

例 如图,一个圆台形花盆盆口直径为,盆底直径为 , 底部渗水圆

孔直径为,盆壁长为.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米

用毫升油漆,涂个这样的花盆需要多少毫升油漆?(π 取,结果精确到

毫升,可用计算器)



活动:学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表

面积,就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加

上底面积,再减去底面圆孔的面积.

解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 π

[ (15)2 ? 15 ?15 ? 20 ?15]π ( 1.5 )≈ ()().

22

2

2

涂个这样的花盆需油漆:×× (毫升).

答:涂个这样的花盆需要 毫升油漆.

点评:本题主要考查几何体的表面积公式及其应用. 变式训练 .有位油漆工用一把长度为,横截面半径为的圆柱形刷子给一块面积为 2 的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒周的速度在木板上匀速滚动前进, 则油漆工完成任务所需的时间是多少?(精确到秒) 解:圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积, ∵圆柱的侧面积为侧 π π ··π , 又∵圆柱形刷子以每秒周匀速滚动, ∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为 π ,

因此油漆工完成任务所需的时间 10m2 ? 20 ≈秒. 0.5?m2 ?

点评:本题虽然是实际问题,但是通过仔细分析后,还是归为圆柱的侧

面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积

就相当于把圆柱的侧面展开的面积,即滚动一周所经过的面积等于圆柱

的侧面积.从而使问题迎刃而解.

.(山东滨州一模,文)已知三棱锥—中,、、两两垂直,,,且,则三棱锥

体积的最大值是.

分析:由题意得三棱锥的体积是 1 ? 1 xy ? 1 x(4 ? x) ? ? 1 () 2 ,由于

32 6

63

>,则当时,三棱锥的体积取最大值 2 . 3

答案: 2 3

例 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽(图)共重,已知底

面是正六边形,边长为,内孔直径为,高为,问这堆螺帽大约有多少个?(π

取)

图 活动:让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一 个组合体,在一个六棱柱中间挖去一个圆柱,因此它的体积等于六棱柱

的体积减去圆柱的体积. 解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即

3 ××××( 10 )×≈ ()().

4

2

所以螺帽的个数为× ÷(×)≈(个).

答:这堆螺帽大约有个.

点评:本题主要考查几何体的体积公式及其应用.

课堂小结: 本节课学习了: .柱体、锥体、台体的表面积和体积公式. .应用体积公式解决有关问题. 布置作业: 习题组 第、、题.

板书设 计

教学反 思

学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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