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函数及其表示知识点练习题答案

函数及其表示知识点练习题答案

函数及其表示考纲知识梳理 一、函数与映射的概念 函数 两集合 对应关系 设 A、B 是两个非空数集 如果按照某种确定的对应关 映射 设 A、B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关 f : A?B 系 f ,使对于集合 A 中的任 系 f ,使对于集合 A 中的任 意一个数 x ,在集合 B 中都 意一个元素 x ,在集合 B 中 有 唯 一 确 定 的 数 f ( x) 和 它 对应。 都有唯一确定的元素 y 与之 对应。 称 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射 对应 f : A ? B 是一个映射 名称 称 f : A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数 记法 y ? f ( x) , x ? A 注:函数与映射的区别:函数是特殊的映射,二者区别在于映射定义中的两个集合是非空 集合,可以不是数集,而函数中的两个集合必须是非空数集。 二、函数的其他有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x) , x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 { f ( x) | x ? A} 的集合叫做函数的值域 (2)一个函数的构成要素 定义域、值域和对应法则 (3)相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数。 注:若两个函数的定义域与值域相同,是否为相等函数?(不一定。如果函数 y=x 和 y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;再如 y=sinx 与 y=cosx,其定义域为 R, 值域都为[-1,1],显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等,关键是看定义域和对 应关系) (4)函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 其值域等于各段函数的值域的并集, 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是个函数。 函数及其表示测试题 ? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 1、设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( A ) ? x ? 6, x ? 0 A. (?3,1) ? (3,??) B. (?3,1) ? (2,??) C. (?1,1) ? (3,??) D. (??,?3) ? (1,3) 解析 由已知,函数先增后减再增 当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 2、试判断以下各组函数是否表示同一函数? 3 3 2 (1)f(x)= x ,g(x)= x ; x ? 0, ?1 |x| ? ? 1 x ? 0; (2)f(x)= x ,g(x)= ? (3)f(x)= 2 n ?1 x 2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ; 2 (4)f(x)= x x ? 1 ,g(x)= x ? x ; 2 2 (5)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1。 3 3 2 解: (1)由于 f(x)= x =|x|,g(x)= x =x,故它们的值域及对应法则都不相同, 所以它们不是同一函数; x ? 0, ?1 |x| ? ? 1 x ? 0; (2)由于函数 f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而 g(x)= ? 的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)= 2 n ?1 x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相 同,所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域 为{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 注:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相 同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全 相同,反之亦然。 3、求下列函数的值域: 2 2 (1) y ? 3x ? x ? 2 ;(2) y ? ? x ? 6x ? 5 ;(3) y? 3x ? 1 x?2 ; (4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1? x ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; 2 2x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 y? 2 y? (x ? ) x ? x ?1 ; 2x ?1 2 ; (7) (8) 1 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? 6 12 12 , [ 解:(1)(配方法) 2 23 , ?? ) ∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 12 (2)求复合函数的值域: 2 y? 设 ? ? ? x ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为 ? 又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 , 2 2 ∴ 0 ? ? ? 4 ,故 2 ? ?[0, 2], ∴ y ? ? x ? 6x ? 5 的值域为 [0, 2] (3)(法一)反函数法: y? 3x ? 1 2x ? 1 y? x ? 3 ,其定义域为 {x ? R | x ? 3}

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