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函数及其表示练习题与答案

函数及其表示练习题与答案

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示

[基础训练 A 组]

一、选择题

1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )



y1

?

(x ? 3)(x ? 5) x?3



y2

?

x?5;

⑵ y1 ? x ? 1 x ?1 , y2 ? (x ?1)(x ?1) ;

⑶ f (x) ? x , g(x) ? x2 ;

⑷ f (x) ? 3 x4 ? x3 , F (x) ? x 3 x ?1 ; ⑸ f1(x) ? ( 2x ? 5)2 , f2 (x) ? 2x ? 5 。
A.⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸

2.函数 y ? f (x) 的图象与直线 x ?1 的公共点数目是( )

A.1 B. 0

C. 0 或1

D.1或 2

? ? 3.已知集合 A ? ?1, 2,3, k?, B ? 4,7, a4, a2 ? 3a ,且 a ? N *, x ? A, y ? B

使 B 中元素 y ? 3x ?1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( )

A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5 D. 2, 5

?x ? 2(x ? ?1)

4.已知

f

(x)

?

? ?

x2

(?1

?

x

?

2) ,若

f

(x)

?

3 ,则

x

的值是(



??2x(x ? 2)

A.1

B.1或 3 2

C.1, 3 或 ? 3 2

D. 3

5.为了得到函数 y ? f (?2x) 的图象,可以把函数 y ? f (1? 2x) 的图象适当平移,

这个平移是( )
A.沿 x 轴向右平移1个单位 C.沿 x 轴向左平移1个单位

B.沿 x 轴向右平移 1 个单位 2
D.沿 x 轴向左平移 1 个单位 2

6.设

f

(x)

?

?x ? 2, (x ? 10)

? ?

f

[

f

(x

?

6)],(x

?

10)



f

(5)

的值为(



A.10 B.11 C.12 D.13

二、填空题

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1.设函数

f

(x)

?

?1

?? ? ?

2 1

?? x

x

?1(x ? 0), 若f
(x ? 0).

(a)

?

a.

则实数

a

的取值范围是



2.函数

y

?

x?2 x2 ? 4

的定义域



3.若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A(?2, 0), B(4, 0) ,且函数的最大值为 9 ,

则这个二次函数的表达式是



4.函数 y ? (x ?1)0 的定义域是_____________________。 x ?x

5.函数 f (x) ? x 2 ? x ? 1的最小值是_________________。
三、解答题
1.求函数 f (x) ? 3 x ?1 的定义域。 x ?1

2.求函数 y ? x2 ? x ?1 的值域。

3.x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2(m ?1)x ? m ?1 ? 0 的两个实根,又 y ? x12 ? x22 , 求 y ? f (m) 的解析式及此函数的定义域。
4.已知函数 f (x) ? ax2 ? 2ax ? 3 ? b(a ? 0) 在[1,3] 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、b 的值。

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示

[综合训练 B 组]

一、选择题

1.设函数 f (x) ? 2x ? 3, g(x ? 2) ? f (x) ,则 g(x) 的表达式是( )

A. 2x ?1 B. 2x ?1

C. 2x ? 3 D. 2x ? 7

2.函数 f (x) ? cx , (x ? ? 3) 满足 f [ f (x)] ? x, 则常数 c 等于( )

2x ? 3

2

A. 3

B. ? 3

C. 3或 ? 3 D. 5或 ? 3

3.已知

g(x)

?1?

2x,

f

[ g ( x)]

?

1? x2 x2

(x

?

0) ,那么

f

(1) 2

等于(



A.15 B.1

C. 3 D. 30 4.已知函数 y ? f (x ? 1) 定义域是[?2,3] ,则 y ? f (2x ? 1) 的定义域是( )

A.[0, 5] 2
C. [?5,5]

B. [?1,4] D. [?3,7]

5.函数 y ? 2 ? ?x2 ? 4x 的值域是( )

A.[?2, 2] B.[1, 2]

C.[0, 2]

D.[? 2, 2]

6.已知

f

(1 ? 1?

x) x

?

1? 1?

x2 x2

,则

f

(x)

的解析式为(



A. x 1? x2

B.

?

1

2 ?

x x

2

C.

1

2 ?

x x

2

D. ? x 1? x2

二、填空题

?3x2 ? 4(x ? 0)

1.若函数 f (x) ? ??? (x ? 0)

,则 f ( f (0)) =



??0(x ? 0)

2.若函数 f (2x ? 1) ? x 2 ? 2x ,则 f (3) =

.

3.函数 f (x) ? 2 ?

1

的值域是



x2 ? 2x ? 3

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4.已知

f

(x)

?

?1, x ? ???1, x

0 ?

0

,则不等式

x

?

(x

?

2) ?

f

(x

?

2)

?

5

的解集是

5.设函数 y ? ax ? 2a ?1,当 ?1? x ?1时,y 的值有正有负,则实数 a 的范围
三、解答题
1.设?, ? 是方程 4x2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0, (x ? R) 的两实根,当 m 为何值时,

? 2 ? ? 2 有最小值?求出这个最小值.

。 。

2.求下列函数的定义域
(1) y ? x ? 8 ? 3 ? x

(3) y ?

1

1? 1

1? 1

x ?x

(2) y ? x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

3.求下列函数的值域

(1) y ? 3 ? x (2) y ?

5

4?x

2x2 ? 4x ? 3

(3) y ? 1 ? 2x ? x

4.作出函数 y ? x2 ? 6x ? 7, x ? ?3,6?的图象。

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(数学 1 必修)第一章(中) 函数及其表示

[提高训练 C 组]

一、选择题

? ? 1.若集合 S ? ?y | y ? 3x ? 2, x ? R?,T ? y | y ? x2 ?1, x ? R ,

则 S T 是( )

A. S

B. T

C. ?

D.有限集

2.已知函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ?1对称,且当 x ? (0,??) 时,

有 f (x) ? 1 , 则当 x ? (??,?2) 时, f (x) 的解析式为( ) x

A. ? 1 B. ? 1

C. 1

D. ? 1

x

x ?2

x?2

x?2

x 3.函数 y ? ? x 的图象是( )
x

4.若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为[0, m] ,值域为[? 25,? 4] ,则 m 的取值范围是( ) 4

A. ?0,4? B.[ 3,4]
2

C.[ 3 ,3] D.[ 3,? ?)

2

2

5.若函数 f (x) ? x2 ,则对任意实数 x1, x2 ,下列不等式总成立的是( )

A. f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) B. f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 )

2

2

2

2

C. f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) D. f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 )

2

2

2

2

6.函数

f

(x)

?

??2x

? ??

x2

? ?

x2 (0 ? x 6x(?2 ?

? 3) x ? 0)

的值域是(



A. R B.??9, ??? C.??8,1? D.??9,1?

二、填空题

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1.函数 f (x) ? (a ? 2)x2 ? 2(a ? 2)x ? 4 的定义域为 R ,值域为 ???,0? ,

则满足条件的实数 a 组成的集合是



2.设函数 f (x) 的定义域为[0,1] ,则函数 f ( x ? 2) 的定义域为__________。

3.当 x ? _______ 时,函数 f (x) ? (x ? a1)2 ? (x ? a2 )2 ? ... ? (x ? an )2 取得最小值。

4.二次函数的图象经过三点 A(1 , 3), B(?1,3),C(2,3) ,则这个二次函数的 24

解析式为



5.已知函数

f

(x)

?

?x2 ?

?1

(x ? 0) ,若 f (x) ?10 ,则 x ?



? ? 2x (x ? 0)

三、解答题

1.求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。

2.利用判别式方法求函数

y

?

2x2 x2

? 2x ? 3 ? x ?1

的值域。

3.已知 a, b 为常数,若 f (x) ? x2 ? 4x ? 3, f (ax ? b) ? x2 ?10x ? 24, 则求 5a ? b 的值。

4.对于任意实数 x ,函数 f (x) ? (5 ? a)x2 ? 6x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围。

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(数学 1 必修)第一章(中) [基础训练 A 组]
一、选择题 1. C (1)定义域不同;(2)定义域不同;(3)对应法则不同;
(4)定义域相同,且对应法则相同;(5)定义域不同;
2. C 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x ?1 仅有一个函数值;
? ? 3. D 按照对应法则 y ? 3x ?1 , B ? ?4,7,10,3k ?1? ? 4,7, a4, a2 ? 3a

而 a ? N *, a4 ? 10 ,∴ a2 ? 3a ? 10, a ? 2,3k ?1 ? a4 ? 16, k ? 5

4. D 该分段函数的三段各自的值域为 ???,1?,?0, 4?,?4, ??? ,而 3??0, 4?

∴ f (x) ? x2 ? 3, x ? ? 3,而 ?1 ? x ? 2, ∴ x ? 3 ;

1. D

平移前的“1? 2x ? ?2(x ? 1) ”,平移后的“ ?2x ”, 2

用“ x ”代替了“ x ? 1 ”,即 x ? 1 ? 1 ? x ,左移

2

22

6. B f (5) ? f ? f (11)? ? f (9) ? f ? f (15)? ? f (13) ?11。

二、填空题

1.

???, ?1? 当 a ? 0时, f (a) ? 1 a ?1 ? a, a ? ?2 ,这是矛盾的;

2

当 a ? 0时, f (a) ? 1 ? a, a ? ?1; a

2. ?x | x ? ?2,且x ? 2? x2 ? 4 ? 0

3. y ? ?(x ? 2)(x ? 4) 设 y ? a(x ? 2)(x ? 4) ,对称轴 x ?1 ,

当 x ?1 时, ymax ? ?9a ? 9, a ? ?1

4. ???,0?
5. ? 5 4
三、解答题

??x ?1 ? 0

? ??

x

?

x

?

0

,

x

?

0

f (x) ? x2 ? x ?1 ? (x ? 1)2 ? 5 ? ? 5 。 244

1.解:∵ x ?1 ? 0, x ?1 ? 0, x ? ?1,∴定义域为?x | x ? ?1?

2.解: ∵ x2 ? x ?1 ? (x ? 1)2 ? 3 ? 3 , 2 44

∴ y ? 3 ,∴值域为[ 3 , ??)

2

2

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3.解: ? ? 4(m ?1)2 ? 4(m ?1) ? 0,得m ? 3或m ? 0 ,

y ? x12 ? x22 ? (x1 ? x2 )2 ? 2x1x2
? 4 (m ? 12)? m2 (? 1 ) ? 4m2 ? 1 0m ? 2 ∴ f (m) ? 4m2 ?10m ? 2, (m ? 0或m ? 3) 。

4. 解:对称轴 x ?1,?1,3? 是 f (x) 的递增区间,

f (x)max ? f (3) ? 5,即3a ? b ? 3 ? 5 f (x)min ? f (1) ? 2,即? a ? b ? 3 ? 2,



?3a ? b ???a ? b

? ?

2 得a ?1

?

3 4

,

b

?

1 4

.

(数学 1 必修)第一章(中) [综合训练 B 组]

一、选择题
1. B ∵ g(x ? 2) ? 2x ? 3 ? 2(x ? 2) ?1, ∴ g(x) ? 2x ?1;

2. B cf (x) ? x, f (x) ? 3x ? cx ,得c ? ?3

2 f (x) ? 3

c ? 2x 2x ?3

3.

A

令 g(x)

?

1 ,1? 2x 2

?

1,x 2

?

1, 4

f

(1) 2

?

f

?

g

(

x)?

?

1

? x

x2
2

? 15

4. A ?2 ? x ? 3, ?1 ? x ?1 ? 4, ?1 ? 2x ?1 ? 4, 0 ? x ? 5 ; 2

5. C ?x2 ? 4x ? ?(x ? 2)2 ? 4 ? 4,0 ? ?x2 ? 4x ? 2, ?2 ? ? ?x2 ? 4x ? 0

0 ? 2 ? ?x2 ? 4x ? 2,0 ? y ? 2 ;

6.

C

令1? x 1? x

? t,则x

? 1?t 1? t

,

f

(t)

1? (1? t )2

?

1

?

1 (1

? ?

t t

)2

?

1

2t ?t

2



1? t

二、填空题

1. 3? 2 ? 4 f (0) ? ? ;

2. ?1 令 2x ?1 ? 3, x ? 1, f (3) ? f (2x ?1) ? x2 ? 2x ? ?1 ;

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3. ( 2, 3 2 ] 2

x2 ? 2x ? 3 ? (x ?1)2 ? 2 ? 2, x2 ? 2x ? 3 ? 2,

1

2

32

0?

? , 2 ? f (x) ?

x2 ? 2x ? 3 2

2

4. (??, 3] 当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f (x ? 2) ? 1,则x ? x ? 2 ? 5, ?2 ? x ? 3 ,

2

2

当 x ? 2 ? 0,即x ? ?2, f (x ? 2) ? ?1,则x ? x ? 2 ? 5, 恒成立,即x ? ?2

∴x? 3; 2
5. (?1, ? 1) 3
令y ? f (x),则f (1) ? 3a ?1, f (?1) ? a ?1, f (1) ? f (?1) ? (3a ?1)(a ?1) ? 0

得 ?1 ?a ? ?1 3
三、解答题

1. 解: ? ? 16m2 ?16(m ? 2) ? 0, m ? 2或m ? ?1,

? 2 ? ? 2 ? (? ? ? ) 2? 2?? ? m ?2 1 m ?1 2

当m

?

?1时, (? 2

?

? 2 )min

?

1 2

2.

解:(1)∵

?x ??3

? ?

8 x

? ?

0得 0

?

8

?

x

?

3,

∴定义域为

??8,

3?

?x2 ?1? 0

(2)∵

? ?1 ?

x2

?

0 得x 2

? 1且x

? 1,即x

?

?1 ∴定义域为 ??1?

??x ?1 ? 0

?

?

?

?x ?x?0

(3)∵ ???1? ?

1 x ?x

?0

?

? ?

x

?

0



? ? ?

x

?

?

1 2

∴定义域为

? ??

??,

?

1 2

? ??

? ?1 ?
? 1?

1 1

?0

??

x ?x

? ? ?

x

1 ?

x

?

0

? ??

?

1 2

,

0

? ??

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3. 解:(1)∵ y ? 3 ? x , 4 y ? xy ? x ? 3, x ? 4 y ? 3 , 得y ? ?1,

4?x

y ?1

∴值域为?y | y ? ?1?

(2)∵ 2x2 ? 4x ? 3 ? 2(x ?1)2 ?1 ? 1,



0

?

2x2

1 ? 4x

?

? 1 , 0? y ? 3

5

∴值域为 ?0 , 5?

(3)1? 2x ? 0, x ? 1 ,且y是x 的减函数, 2



x

?

1 2

时,ym

i

n?

?

1 , ∴值域为[? 2

1 2

,?

?)

4. 解:(五点法:顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的交点以及该点关于对称轴对称的点)

(数学 1 必修)第一章(中) [提高训练 C 组]

一、选择题

1. B S ? R,T ? ??1, ???,T ? S

2. D 设 x ? ?2 ,则 ?x ? 2 ? 0,而图象关于 x ? ?1 对称,

得 f (x) ? f (?x ? 2) ? 1 ,所以 f (x) ? ? 1 。

?x ?2

x?2

3.

?x ?1, x ? 0 D y ? ??x ?1, x ? 0

4. C 作出图象 m 的移动必须使图象到达最低点
5. A 作出图象 图象分三种:直线型,例如一次函数的图象:向上弯曲型,例如

二次函数 f (x) ? x2 的图象;向下弯曲型,例如 二次函数 f (x) ? ?x2 的图象;

6. C 作出图象 也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集
二、填空题

1. ??2? 当 a ? 2时,f (x) ? ?4,其值域为?-4? ? ???,0?



a

?

2时,f

(x)

?

0,



?a ? 2 ? 0 ??? ? 4(a ?

2)2

?16(a

?

2)

?

0

,

a

?

?2

2. ?4,9? 0 ? x ? 2 ? 1,得2 ? x ? 3,即4 ? x ? 9

3. a1 ? a2 ? ... ? an n

f (x) ? nx2 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? an )x ? (a12 ? a22 ? ... ? an2 )

当 x ? a1 ? a2 ? ... ? an 时, f (x) 取得最小值 n

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4. y ? x2 ? x ?1 设 y ? 3 ? a(x ?1)(x ? 2) 把 A(1 , 3) 代入得 a ?1 24
5. ?3 由10 ? 0 得 f (x) ? x2 ?1 ? 10,且x ? 0,得x ? ?3

三、解答题

1. 解:令 1? 2x ? t, (t ? 0) ,则 x ? 1? t2 , y ? 1? t2 ? t ? ? 1 t2 ? t ? 1

2

2

2

2

y ? ? 1 (t ? 12) ? 2

,1 当 t ? 1时, ym a x?1,所以y ???? ,?1

2. 解: y(x2 ? x ?1) ? 2x2 ? 2x ? 3, ( y ? 2)x2 ? ( y ? 2)x ? y ? 3 ? 0, (*)

显然 y ? 2 ,而(*)方程必有实数解,则 ? ?( y ?2 2) ? 4y( ? 2 y) ( ? 3?),∴0y ? (2,10] 3
3. 解: f (ax ? b) ? (ax ? b)2 ? 4(ax ? b) ? 3 ? x2 ?10x ? 24,

a2 x2? ( 2 a b? 4 a) ?x 2b? 4 b? 3 ? 2 x ?1 0 x? 2 4 ,

?a2 ? 1



??2a b? 4 a? 1 ??b2 ? 4b ? 3?

0 2


4

?a ??b

? ?

1 3

,或

?a ?? b

? ?

?1 ?7

∴ 5a ?b ? 2 。

4.

解:显然 5 ? a ? 0 ,即 a

?

5

,则

?5 ? a ? ??? ? 36

0 ?

4(5

?

a)(a

?

5)

?

0

?a ? 5



? ?a

2

?16

?

0

,∴

?4

?

a

?

4

.


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