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南大复变函数与积分变换课件(版)9.2拉普拉斯变换的性质_图文

南大复变函数与积分变换课件(版)9.2拉普拉斯变换的性质_图文

§9.2 Laplace 变换的性质 一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理 §9.2 Laplace 变换的性质 在下面给出的基本性质中,所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在,它们的增长指数均假定为 c。且 F(s)? [ f(t)], G(s)? [g(t)]. 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题,均不另作说明。 一、线性性质与相似性质 P216 1. 线性性质 P216 性质 证明 (略) 解 f(t)?si2tn si3tn ?1(cto ?cso 5t)s , 2 [f(t)]?1( [co t]? s [co 5t]s) 2 ?12???s2s?1?s2?s25??? ? (s2?11)(2ss2?25) . 解 F(s)? 1 ? 1 , s?2 s?1 f(t)? ?1[F(s)]? ?1[ 1 ]? ?1[ 1 ] s?2 s?1 ?e2t ?et. 一、线性性质与相似性质 2. 相似性质(尺度性质) P217 性质 证明 ? [f(at)]?? ?f(at)e?stdt 0 ? 令 x?at 1 ?? f ?s (x)e a x dx a0 ? 1 a F ?? ? s a ?? ? . 二、延迟性质与位移性质 P222 1. 延迟性质 P222 性质 设当 t < 0 时 f(t)?0, 则对任一非负实数 ?有 [f(t??)]?e?s?F(s). 证明 ? ? ? [f(t?)]?? ? f(t?)e ? std t 0 ? ???f(t??)e?stdt ? ? 令 x?t?? ??f(x)e?sx?e?s?dx 0 ?e?s?F(s). 二、延迟性质与位移性质 1. 延迟性质 性质 设当 t < 0 时 f(t)?0, 则对任一非负实数 ?有 [f(t??)]?e?s?F(s). 注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 f(t)?0这一约定。 因此,本性质也可以直接表述为: ? ? [f(t?)u (t?)]?e?s?F(s). 可见,在利用本性质求逆变换时应为: ? ? ?1[e?s?F(s)]? f(t?)u (t?). P222 例9.12 解 方法一 已知 [sint]? 1 s2 ? , 1 方法一 先充零再平移 方法二 根据延迟性质有 [sin(t ? π )] 2 ? 1 s2 ? 1 e ? π 2 s . sint?(π)u(t?π) 2 2 方法二 先平移再充零 [sint(? π)] ? [?cot]s 2 ? 1 s2 ? 1 (?s). sint(? π)u(t) 2 两种方法为什么会得到不同的结果? 例 设 F(s)? 1 e?2s, 求 ?1[F(s)]. P223 例9.13 修改 s?1 解 由于 ?1[ 1 s?1 ] ?et u(t), 根据延迟性质有 ?1[F(s)] ?et?2u(t?2) ? ?et?2, ? t ? 2, ? 0, t ? 2. 二、延迟性质与位移性质 2. 位移性质 P223 性质 证明 (略) 例如 [et cost ] ? s?1 (s?1)2 ?1 . [et sint ] ? 1 (s ?1)2 ?1 . 三、微分性质 P217 ▲1. 导数的象函数 P217 性质 [ f?(t)]? s( F s)?f(0 ). 证明 ? ? [f?(t)]???f?(t)e?stdt? ??e?stdf(t) 0 0 ? ? f(t)e ? st? ? ? s? ? f(t)e ? std t, 00 由 |f(t)|?Mect, 有 |f(t)e ? st|? M e ? (R s? c e )t, 因此当 Rse ???c时,有 lim f(t)e?st ?0, t? ?? 即得 [ f?(t)]? s( F s)?f(0 ). 三、微分性质 ▲1. 导数的象函数 性质 [ f?(t)]?s(F s)?f(0 ); 一般地,有 [ f (n)(t)] ? s n F ( s ) ? s n ? 1 f ( 0 ) ? s n ? 2 f ? ( 0 ) ? ? ? f ( n ? 1 ) ( 0 ) . 其中, f (k)(0) 应理解为 limf(k)(t). t?0? Laplace 变换的这一性质非常重要,可用来求解微分 方程(组)的初值问题。 (§9.4 将专门介绍 ) P218 例9.7 解 利用导数的象函数性质来求解本题 由 f ( 0 ) ? f ? ( 0 ) ? ? ? f ( m ? 1 ) ( 0 ) ? 0 以及 f(m)(t)?m!有 [ f (m)(t)] ? [m!] ? s m F ( s ) ? s m ? 1 f ( 0 ) ? s m ? 2 f ? ( 0 ) ? ? ? f ( m ? 1 ) ( 0 ) ?sm [f(t)]?sm [tm], 故有 [ tm ] ? 1 sm [m!] ? m! sm [1] ? m! s m ?1 . 三、微分性质 2. 象函数的导数 P218 性质 F?(s) ??[tf(t)]; 一般地,有 F(n)(s) ?(?1)n [tnf(t)]. ? 证明 由 F(s)???f(t)e?stdt有 0 ? ? F?(s)?d ??f(t)e?stdt ? ?? ?[f(t)e?st]dt ds 0 0 ?s ? ????tf(t)e?stdt ??[tf(t)]; 0 同理可得 F(n)(s) ?(?1)n [tnf(t)]. 解 已知 [sin?t]

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