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杭州二中2012学年第一学期期中考试高一数学试题卷

杭州二中2012学年第一学期期中考试高一数学试题卷


杭州二中 2012 学年第一学期高一年级期中考试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题和填空题)和第Ⅱ卷(答题卷)两部分 满分 100 分 考试时间 100 分钟 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中) ..
?x 1. 若集合 A={y| y= 3 x ? 3 },B={y| y= 3 }, 则 A∪B = (

) D.{y| y≥1}

A.{y| y>0} B.{y| y≥0} 2. 下列四组函数中,表示同一函数的是( A. y ?

C.{y| y>1} )

x ?1 与y ? x ? 1 x ?1

B. y ? ( x ? 1) 2 与y ? x ? 1 D. y ? ?2+ lg x与y ? lg , 那么 f [ f ( )] 的值为 ( C. ? 9

C. y ? 2lg x 2与y ? 4lg x 3. 已知函数 f ( x ) ? ? A. 9
2

x 100

?log 2 x( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

1 4

) D. ?

B.

4. 已知函数 f ? x ? ? ax + ?1 ? 3a? x ? 2 a 在 ?1, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( 5. B. ? 0,1? C. ? 0,1? D. ?1, ?? ? ? 0,1? 2 已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ? b ? x ? ab (其中 a ? b )的图象如下面左图所示,则函数 A. ) )

1 9

1 9

g ( x) ? a x ? b 的图象是(
f (x)

A B C D 6. 已知奇函数 f ? x ? 在(0,+ ∞)上为减函数,且 f ? ?2 ? ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) f ? x ? 1? >0 的解集为( A. ? ?3, ?1? ) B. ? ?3,1? ? ? 2, ?? ? C. ? ?3, 0 ? ? ? 3, ?? ? D. ? ?1,1? ? ?1,3?

7. 杭州二中要召开学生代表大会,规定各班每 20 人推选一名代表,当各班人数除以 20 的余数不小于 11 时再增选一名代表. 那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的 函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( )

1

x ? 10 x?8 x?9 x ? 11 ] B. y=[ ] C. y=[ ] D. y=[ ] 20 20 20 20 8. 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 且 在 x ? ? 0,1? 时 , f ( x) ? 1? x , 则 函 数 ,
A. y=[

1 g ( x ) ? f (x )? ( x)在 [0,3] 上的零点的个数是 ( 10
A. 1 B. 2 C. 3

) D. 4

3- | x | 9. 已知函数 y ? 的定义域为 [a, b]( a, b ? Z ) ,值域为 [0,1] ,那么满足条件的整数 3+ | x | 对 (a, b) 共有 ( )
10. 设函数 f (x) ? m ? x ? 3 ,若存在实数 a、b ( a < b ),使 f ( x ) 在 ? a,b ? 上的值域为 A.6 个 B.7 个 ( C.8 个 D.9 个

? a,b? ,则实数 m 的取值范围是
A. ? , 2] ( ?

)

9 4

B. [?2, ) ?

5 4

C. [?3, ) ?

9 4

D. [? , ] ?

9 4

5 4

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答卷中相应横线上) 11. 已知集合 P ? {a , a ? 1, ?3} ,Q ? {a ? 1, 2a ? 1, a ? 3} ,若 P ? Q ? {?3} ,则 a 的值
2
2





.
x

12. 已 知 函 数 f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? log 3 x ? 2, h( x) ? log 3 x ? x 的 零 点 依 次 为 a, b, c , 则

a, b, c 的大小关系是
13. 14.
4


6

. ▲ ▲ . .

2 ?8

0.25

? ( 2 ? 3 3) ? log 3 (log 2 4) ? log 2 3 =
1 ? x ? 2x ? 3
2

函数 y ?

的单调递增区间是

15.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1 ? x ) ,若实数 a, b 满足 f (a ? 1) ? f (b) ? 0 ,则 a ? b 等 于 ▲
2

2 ? ax (a ? 1) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ▲ a ?1 2 17. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x , 若对任意的 x ?[t , t ? 2],
16.已知函数 f ( x) ? 不等式 f ( x) ? 4f ( x ? t ) 恒成立,则实数 t 的最大值是 ▲ .

.

杭州二中 2012 学年第一学期高一年级期中考试数学答题卷
2

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. 15.

. .

12. 16.

. .

13. 17.

. .

14.

.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 42 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 18. (本小题满分 9 分)已知集合 M ? {x x ? 3 x ? 10} , N ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 1} .

(Ⅰ)若 a ? 3 ,求 M ? ( ? R N ); (Ⅱ)若 M ? N ? M ,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 9 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R, a ? 0) ,f (?2) ? f (0)
2

? 0 , f (x) 的最小值为 ? 1. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;
(Ⅱ)设函数 h( x) ? [n ? f ( x)]
? 1 2

?1 ,若函数 h( x) 在其定义域上不存在零点,求实数

n 的取值范围.

20.(本小题满分 9 分)设 a ,b∈R 且 a ≠2,函数 f ( x) ? lg

1 ? ax 在区间(-b,b)上是 1 ? 2x

3

奇函数. (Ⅰ)求 ab 的取值集合; (Ⅱ)讨论函数 f ( x) 在 (-b,b)上的单调性. `

21. (本小题满分 15 分)定义在 D 上的函数 f ? x ? ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数

M ? 0 , 使得 | f ( x) |? M 成立, 则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数, 其中 M 称为函数
?x ?x f ? x ? 的上界. 已知函数 f ( x) ? 4 ? p ? 2 ? 1 , g ( x) ?

1 ? q ? 2x . 1 ? q ? 2x

(Ⅰ) p ? 1 时, 求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域, 并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上 当 是否为有界函数, 请说明理由; (Ⅱ)若 q ? (0,

2 ] , 函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 上的上界是 H (q) , 求 H (q) 的取值范围; 2 (Ⅲ)若函数 f ? x ? 在 ?0,?? ? 上是以 3 为上界的有界函数, 求实数 p 的取值范围.

杭州二中 2012 学年第一学期高一年级期中考试数学答案

4

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. ?1 12. a ? b ? c 13. 75 15. 1 16. (??,0) ? (1, 2] 17. ?

14.

(?1, 1)

2 3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 42 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. ( 本小题满分 9 分)(1) 因为 a=3,所以 N={x|4≤x≤7},? R N={x|x<4 或 x>7}. 又 M={x|-2≤x≤5}, 所以 M∩ (? RN)={x|x<4 或 x>7}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}. -----------------(4 分) (2)若 M≠ ? ,由 M ? N ? M ,得 N?M,所以

?a+1≥-2 ? ?2a+1≤5 .解得 0≤a≤2; ?2a+1≥a+1 ? 当 M= ? ,即 2a+1<a+1 时,a<0,此时有 N?M,
所以 a<0 为所求. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,2].

------------ (7 分)

------------ (9 分)

19.( 本小题满分 9 分)⑴ 由题意设 f ( x) ? ax( x ? 2) , ∵ f (x) 的最小值为 ? 1, ∴ a ? 0 ,且 f (?1) ? ?1 , ∴ a ? 1, ∴ f ( x) ? x ? 2 x
2

------------ (4 分)

(2)∵ 函数 h( x) ? [n ? f ( x)]

?

1 2

?1 在定义域内不存在零点,必须且只须有
------------ (6 分)

n ? f ( x) ? 0 有解,且 n ? f ( x) ? 1 无解. ∴ n ? f min ( x) ,且 n 不属于 f ( x) ? 1 的值域,
又∵ f ( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ,
2 2

∴ f (x) 的最小值为 ? 1, f ( x) ? 1 的值域为 ?0, ∴ n 的取值范围为 ?? 1, 0 ? . 20. ( 本小题满分 9 分)(1)函数 f(x)=lg

? ?? , ∴ n ? ?1 ,且 n ? 0
------------ (9 分)

1+ax 在区间(-b,b)内是奇函数等价于对任意 1+2x

5

?f?-x?=-f?x?, ? 1-ax 1+ax x∈(-b,b)都有?1+ax 由 f(-x)=-f(x),得 lg =-lg , 1-2x 1+2x ?1+2x>0. ?
1-ax 1+2x 2 2 2 = ,即 a x =4x ,此式对任意 x∈(-b,b)都成立相当于 a2=4, 1-2x 1+ax 又∵a≠2, ∴a=-2, ------------ (3 分) 1+ax 1-2x 1 1 代入 >0 得 >0,即- <x< , 2 2 1+2x 1+2x 1 1 1 此式对任意 x∈(-b,b)都成立,相当于- ≤-b<b≤ ,所以 b 的取值范围是(0, ]. 2 2 2 ∴ ab 的取值集合为[-1,0). ------------ (5 分) 由此可得 1 1 1 (2)设任意的 x1,x2∈(-b,b),且 x1<x2,由 b∈(0, ],得- ≤-b<x1<x2<b≤ , 2 2 2 所以 0<1-2x2<1-2x1,0<1+2x1<1+2x2, ------------ (7 分) 1-2x2 1-2x1 ?1-2x2??1+2x1? 从而 f(x2)-f(x1)=lg -lg =lg <lg 1=0, 1+2x2 1+2x1 ?1+2x2??1-2x1? 因此 f(x)在(-b,b)内是减函数. ------------ (9 分) 21. ( 本小题满分 15 分)(1)当 p=1 时, f ( x) ? 4
?x

? 2? x ? 1

因为 f (x) 在 ? ??,0 ? 上递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 3 ,即 f (x) 在 ? ??,1? 的值域为

? 3, ?? ?
函数

-------------------- (3 分) 故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立, 所以函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上不是有界 -------------------- (4 分)

(2) g ( x) ?

2 ? 1 ,∵ 1 ? q ? 2x


q>0

, x ? ?0,1?



g ? x ? 在 ? 0,1? 上递减,∴

g (1) ? g ( x) ? g (0)
∵ q ? (0,

1 ? 2q 1? q ? g ( x) ? 1 ? 2q 1? q

-------------------- (6 分)

1 ? q 1 ? 2q 1? q 2 ? ] ,∴ ,∴ g ( x ) ? , 1 ? q 1 ? 2q 1? q 2
-------------------- (8 分)

∴ H (q) ?

1? q 1? q , ??) ,即 [ 1? q 1? q

(3)由题意知, f ( x) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立.

1 1 ? 3 ? f ( x) ? 3 , ∴ ?4 ? 2 x ? ( ) x ? p ? 2 ? 2 x ? ( ) x 在 ?0,?? ? 上恒成立 2 2

6

1 1 -------------------- (10 分) 2 2 1 1 x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p(t ) ? 2t ? , 由 x? ?0,?? ? 得 t≥1, t t
∴ [?4 ? 2 x ? ( ) x ]max ? p ? [2 ? 2 x ? ( ) x ]min 设 1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

? t2 ? t1 ?? 4t1t2 ? 1?
t1t2

? 0 , 所 以 h(t ) 在 ?1, ?? ? 上 递 减 , h(t ) 在
-------------------- (12 分)

?1, ?? ? 上的最大值为 h(1) ? ?5 ,
又 p (t1 ) ? p (t 2 ) ?

?t1 ? t 2 ??2t1t 2 ? 1?
t1 t 2

? 0, 所以 p (t ) 在 ?1, ?? ? 上递增, p (t ) 在 ?1, ?? ? 上
-------------------- (14 分) -------------------- (15 分)

的最小值为 p(1) ? 1 所以实数p的取值范围为 ? ?5,1?

7



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