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江苏省启东市汇龙中学2013届高三高考考前辅导数学试题 Word版含答案

江苏省启东市汇龙中学2013届高三高考考前辅导数学试题 Word版含答案


汇龙中学 2013 届高三数学考前辅导 第一篇考前指导
5.23

随着高考临近,高三将停课调整。习惯于在老师引导下进行高考复习的同学,此时常会 感到手足无措,失去再提高的机会。在停课调整阶段,如何科学地、合理地、高效率地安排 好数学复习,对高考成绩将起到很大作用。现提出如不建议: 一、停课期做什么? 1.梳理知识,形成网络,注意覆盖面,不能有死角。 分清哪些内容只要一般理解, 哪些内容应重点掌握, 哪些知识又要求灵活运用和综合运用, 把知识点从整体上再理一遍。 (用 A4 纸一张,正反两面) 分清哪些是主干知识,每条主线又有若干支线,一条支线又可分为若干分线,形成概念、 公式网络图。各线上应该注意什么?公式变形情况,计算方法,表述要求,证明步骤。 (用 A4 纸一张,正反两面) 2.梳理方法,形成体系,重解题建模,同类用同法。 分清哪些方法只适用于填空题,哪些用基本元法,哪些用性质法,哪些用特殊法,哪些用 不完全归纳法。 (用 A4 纸一张,正反两面,立出各方法中的注意点,各举一例,也许你所举例 子恰是高考题) 分清哪些方法是高考常用的方法,三角与解三角形的常用方法,立几中的证明与计算常用 的方法,解几中的求轨迹方程与证明和计算常用的方法,函数与导数中证明和计算常用的方 法,数列与不等式中证明和计算常用的方法,应用题中常用的分析方法。 (用 A4 纸二张,正反 两面,立出各方法中的注意点,各举一例,也许你所举方法恰是高考题的解法) 3.理性思考,清醒做题,一追到底,会而不失分 思考解题前的审题与解题表述的时间比,能否做到慢审题快解题,数学题中的字是“一字 值千金” 第一步(细心)
划出显性条件

第二步 (依据)
分析隐性条件

第三步(规范)
格 式

解 题


分出几段完成

表 述
语言转为符号

段 落 步 骤 计 算



清醒做题是思路清晰,目标明确,框架凸显,层次分清,表述有序。 一追到底是运算到底, “看了就过,不一定能过得去”中较多的学友就是运算过不去。
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会而不失分是目前争分的关键,保证会做的不错,即使不完全会做,也要理解多少做多 少,以增加得分机会。答题时该交待的一定要交待清楚。切记过程是得分的依据,方法是过 程的桥梁,细心是总分的保证. (用 A4 纸二张,正反两面,立出各条中自已的不足,各举一正例,也许你所改了的不足就 是高考中获胜的筹码) 4.缩小范围,注重交流,轻松而愉快,作三种准备 缩小复习范围,了解近年高考试题层次 ①突出高考必考题原则; (常考常规题,建立思维模型与解题模型) ②突出思想与方法原则; (常用的技巧,控制题量寻找题目与方法的链接点) ③突出演变与运算原则。 (数表、数据、图形处理,式子化简,数学计算) 注重同学交流,给力奋进要比艰苦奋进好 ①向同学学习,愉快的,实践性的,可探讨的学习; ②向书本学习,随时的,选择性的,可针对的学习; ③向老师学习,可攀的,前展性的,可提升的学习。 轻松愉快复习,轻装奋进要比负重奋进好 ①注重衔接,处理好模仿性与推理性的过度; ②注重细节,把握好训练量与思维量的时间; ③注重信心,培养好我会想与我会考的意识. 作好三种准备,分层应对要比糊涂应对好 一是遇到浅卷的心理准备,比审题,比步骤,比细心; 二是遇到深卷的心理准备,比审题,比情绪,比意志; 三是遇到新题的心理准备,比审题,比分析,比联想. 停课复习会更辛苦,只要坚持数日,形成自觉行为,到时你会感到自已有底气、才气和 灵气,更能增强你的信心、决心和灵性. 二、考前注意什么? 1.考前做“熟题”找感觉 挑选部分有代表性的习题演练一遍,体会如何运用基础知识解决问题,提炼具有普遍性 的解题方法,以不变应万变最重要。掌握数学思想方法可从两方面入手:一是归纳重要的数 学思想方法;二是归纳重要题型的解题方法。还要注意典型方法的适用范围和使用条件,防 止形式套用时导致错误。
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顺应时间安排:数学考试安排在下午,故而考生平时复习数学的时间也尽量安排在下午 时段。每天必须坚持做适量的练习,特别是重点和热点题型,保持思维的灵活和流畅。 2.考前调整、休养生息 调整生物钟,中午、晚上睡好睡足,确保考时大脑和全身的生理机能充足,把数学的兴 奋点移至下午,在考试时,使思维自动进入工作状态并迅速达到高潮。 休养生息, “静能生慧” ,静中能悟,静中能记。数学需要悟,不悟不可能提升,数学也 有背的东西,不背你要吃亏。 3.清点考具,熟悉环境,提前活动 清点考具在赴考离家前, 备有专用的考试用具包。 熟悉环境在试坐中, 包括考场内外环境, 座位四周考生,座位课棹状况。提前活动指准备提前半小时到考点,以防路况有变。 三、考时注意什么? 1.五分钟内做什么 ①清查试卷完整状况,清晰地填好个人信息。 ②用眼用手不用笔,看填空题要填的形式,如是易错做好记号,为后面防错作准备。对 大题作粗略分出 A、B 两类,为后面解题先易后难作准备。 ③稳定情绪,碰到深卷坚信:江北考生难江南考生更难,启东考生不会如东考生更不会, 我感到荆手他人更难下手。 2.120 分钟内怎样做 ①做到颗粒归仓,把会做的题都做对是你的胜利,把不会做的题抢几分是你的功劳 审题宁愿慢一点,确认条件无漏再做下去。 解题方法好一点,确认路子对了再做下去。 计算步骤规范一点,错误常常出在“算错了”,计算的时候我们的草稿也要写好步骤, 确认了再往下走。 考虑问题全面一点,提防陷阱,注意疏漏,多从概念、公式、法则、图形中去考察,尤 其是考察是否有特例,考虑结论是否符合题意,分类要明,讨论要全。 ②盯住目标,保证总分 盯住填空题前 10 题确保正确。盯住大题前 4 题,确保基础题不失分。 关注填空题后 4 题严防会而放弃,适度关注大题后两题,能抢多少是多少。 ③适度考虑时间分配 一般地:填空题(用时 40—50 分钟左右) :
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1—6 题防止犯低级错误,平均用时在 2.5 分钟左右。 7—12 题防止犯运算错误,平均用时在 3.5 分钟左右。 13—14 防止犯耗时错误,平均用时在 4 分钟左右。 一般地:解答题(用时在 70 分钟左右) : 15—16 题防止犯运算和表述错误,平均用时 12 分钟左右。 17—18 题防止犯审题和建模错误,平均用时在 14 分钟左。 19—20 题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误,平均用时在 10 分钟左右。 有的同学做到第 16 题、第 17 题的时候就卡住了,属于非智力因素导致想不起来,这时候 怎么办?虽然是简单题我不会做怎么办?建议先跳过去,不是这道题不会做吗?后面还有很 多的简单题呢,我们把后面的题做一做,不要在考场上愣神,先跳过去做其他的题,等稳定 下来以后再回过头来看会顿悟,豁然开朗。 提醒理科同学:加试题前二题不会难,是概念和简单运算,要细心又要快,用时在 12 分 钟左右;第三题也不太难,是计算与证明,但要讲方法,用时 10 分钟左右;第四题有难度, 用时在 10 分钟左右。 最后,再谈一点,要养成一个一次就作对一步到位的习惯。我做一次就是正确的结论, 不要给自己回过头来检查的习惯。有的时候第二次改错的现象也很普遍。高考试题的设置是 有一定要求的,到最后自己应该会做的写完后时间余下大约是 15 分钟左右。高考的时候为什 么要设置一个 15 分钟的倒数哨声呢?这就是提醒部分考生把会做的题要写好,或者说你一道 题不会做开始写一些也好,到你写完估计也到时了。这就是为什么离考试结束还有 15 分钟信 号。 高考迫近,紧张是免不了的,关键是自我调整,学会考试,以平和的心态参加考试,以 审慎的态度对待试题,以细心的态度对待运算,以灵动的方法对待新颖试题,只有好问、好 想、好做、善探究、善反思、善交流才能在最后阶段有提高、有突破,才能临场考出理想的 成绩,才能出现奇迹。

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汇龙中学数学模拟考试最后阶段注意点
高考考什么呢?简单地说就是四个字,三基四能。所谓的三基是基础知识、 基本技能、基本思想方法。五种能力就是空间想象能力、抽象概括能力、推理证 明能力、运算求解能力、数据处理能力考试就是考这样三基五能。其中基础知识、 基本技能是重点,推理证明能力、运算求解能力是关键。 第一,应该坚持由易到难的做题顺序。高考试题设置的时候是 14 道填空题、6 道大题,填空题(用时 38—40 分钟左右) :1—6 题防止犯低级错误,平均用时 在 2.5 分钟左右。 7—12 题防止犯运算错误,平均用时在 3 分钟左右。13—14 防止犯耗时错误,平 均用时在 4 分钟左右。 解答题(用时在 75 分钟左右) :15—16 题防止犯运算和表述错误,平均用时 10 分钟左右。17—18 题防止犯审题和建模错误,平均用时在 14 分钟左。19—20 题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误,平均用时在 13 分钟左右。 第二,再强调一点审题是关键。把题给看清楚了再动笔答题,看清楚题以后 问什么、已知什么、让我干什么,把这些问题搞清楚了,自己制订了一个完整的 解题策略,在开始写的时候,这个时候是很快就可以完成的。 第三,有的同学做到第 16 题、第 17 题的时候就想不起来了,卡住了,属于 非智力因素导致想不起来,这时候怎么办?虽然是简单题我不会做怎么办?建议 是先跳过去,不是这道题不会做吗?后面还有很多的简单题呢,我们把后面的题 做一做,不要在考场上愣神,先跳过去做其他的题,等稳定下来以后再回过头来 看会顿悟,豁然开朗。 另外,因为填空题看结果,不看过程,只要是能把正确的结论找到就行。常 用的方法学生比较习惯的是直接法,特值(特质)法 ,数形结合法。做大题的时 候要特别注意我会做但拿不满分,这是什么原因造成的呢?就是解题步骤不够规 范。规范答题可以减少失分,什么是规范答题简单地说就是从上一步的原因到下 一步的结论,这是一个必然的过程,让谁写、谁看都是这样的。因为什么所以什 么是一个必然的过程,这是规范答题。还有,比如人家问的是写出函数的定义域, 定义域是什么?就一定要写成集合的形式或者是区间的形式。只给范围一定会扣 分的,所以解答题的时候一定要规范答题。这是关键点。
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提醒各位:加试题前三题不会难,第四题有难度。能拿到 30 分就算成功。前 两题用时在 12 分钟左右,确保不差,第三题用时在 10 分钟左右。 最后,再谈一点在做题的时候很多学生存在一个问题,就是做完一题之后回 过来再检查。其实这是一个不太好的习惯。要养成一个一次就作对一步到位的习 惯。我做一次就是正确的结论,不要给自己回过头来检查的习惯。有的时候第二 次改错的现象也很普遍。高考试题的设置是有一定要求的,到最后自己应该会做 的写完后时间余下大约是 15 分钟左右。高考的时候为什么要设置一个 15 分钟的 倒数哨声呢?这就是提醒部分考生把会做的题要写好,或者说你一道题不会做开 始写一些也好,到你写完估计也到时了。这就是为什么离考试结束还有 15 分钟吹 哨,做题的时候能一步到位就好了,不要再回过头来检查了。

学生做题五步法

1.审题 2.规范 3.方法 4.速度(时间分配) 5、抢分意识
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第二篇考试指导
一填空题 [ 你能即快又准解好填空题吗?方法是否得当?选用公式是否正确?] 1.若复数 z ?

x ? ( x 2 ? x)i ( x ? R) 为纯虚数,则 x= i



分析: 本是纯虚数,故 ?

1 i

? x?0 2 ?x ? x ? 0

答案:1

3. ?ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2OA ? AB ? AC ? 0 , | OA |?| AB | ,则

??? ??? ? ? CA ? CB =



分析: 数形结合法, 2OA ? AB ? AC ? 0 得 Rt ?ABC , | OA |?| AB | 得∠ABC= 由 由 案:3

? 3



1 4 4.若直线 ax+by+1=0(a>0,b>0)过圆 x2+y2+8x+2y+1=0 的圆心,则 + 的最小值 a b 为 .

分析:由条件得 4a+b=1, 1 4 1 4 关键是: + =( + )(4a+b),答案:16(当且仅当 b=4a 时取“=”). a b a b 5.设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,有下列四个条件: (1) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n ; (3) ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ; 其中 m ? ? 的一个充分条件是序号 (2) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? ; (4) n ? ? , n ? ? , m ? ? . .

分析:关键是充分条件(1)中缺少条件 m ? ? ; (2)中当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ; (3) 中当 ? 、 ? 、? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角) m ? ? ? ? 时, ,

m?? ; (4)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故填
(4) . 6.函数 y ? sin ?x (x∈R)的部分图象如图所示,设 O 为坐标原 点, P 是图象的最高点,B 是图象与 x 轴的交点, 则 tan ?OPB = .

y

P x

O

B

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分析: P ( ,1) ,关键之一:B(2,0)而不是(1,0); 关键之二:计算的公式选取.用二角和与差的正切公式,答案:8 7.若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60°,则 BC 边的长是 1 1 分析:S= bcsinA,得 10 3= bcsin60°,得 bc=40,b+c=20-a, 2 2 关键是: b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc .答案: 7. 8.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? t , , an?1 ? an ? 2 ? 0 (t ? N * , n ? N * ) ,记数列 ?an ? 的前 n 项和的 最大值为 f (t ) ,则 f (t ) ? .
? t 2 ? 2t ? ) ,答案: ? 4 ? 2 ? (t ? 1) ? 4 ? (t为偶数) (t为奇数)

1 2



分析:关键是 (t ? N , n ? N
*

*

9.已知点 P(2,t)在不等式组 ?

? x ? y ? 4 ? 0, 表示的平面区域内,则点 P(2,t)到直线 ?x ? y ? 3 ? 0


3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的最大值与最小值的和为

分析:作出图形,想一下用什么办法直接求和?(能否用中位线?什么时候可用?) 答案:4 10. 在区间 [? π , π] 内随机取两个数分别记为 a , b , 则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? π2 有零点的 概率为 .
2

分析:若使函数有零点,必须 ? ? ? 2a? ? 4 ?b2 ? π2 ≥ 0 , 即 a 2 ? b2 ≥ π2 .关键是:建立新坐标轴系,有如图所示 当 a , b 满足函数有零点时,坐标位于正方形内圆外的部分. 答案: 1 ?

?

?

? 4


11.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 分析:圆锥、圆柱、圆台的表面积 与体积,

3 ?. 3
0.0005

频率 组距

12.一个社会调查机构就某地居民的月 收入情况调查了 10000 人,并根据
0.0004 0.0003

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0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 月收入(元)

所得数据画出样本的频率分布直方 图(如图所示). 为了分析居民的 收入与年龄、学历、职业等方面的 关系,再从这 10000 人中用分层抽 样方法抽出 100 人作进一步调查, 则在 ?2500,3500? (元/月)收入段应抽 出 分析:关键是计算公式,40 13.已知曲线 C : y ? 2x 2 ,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不被 C 挡住,则 实数 a 的取值范围是 . 人.

分析:关键是用什么模型,设切点 ( x0 , y0 ) ,则切线为 y ? y0 ? 4 x0 ( x ? x0 ) ,过点 A(0,-2), 得切于点 (1,2) ,切线为 y ? 2 ? 4( x ? 1) ,切线与直线 x=3 的交点为(3,10),故 a<10,答案: (-∞,10)
2 2 2 2 14.若椭圆 C1 : x ? y ? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 : x ? y ? 1 ( a2 ? b2 ? 0 ) 2 2 2 2 a1 b1 a2 b2

的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: ①椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点; ③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ;
2 2 2 2



a1 b1 ? ; a2 b2

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 . .
2 2 2 2

其中,所有正确结论的序号是

2 2 2 分析: a1 ? b12 ? a2 ? b2 ,从而③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 成立,

关键之一: a1 > a2 ,由上得 b1 > b2 ,从而①成立;②不成立;
2 2 关键之二: a12 ? b12 ? a2 ? b2 → (a1 ? b1 )(a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ) → a1 ? b1 < a 2 ? b2 ,从

而④成立; 答案:①③④ (可令 c=1 的特值法) 15. 对任意 x∈R, 函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 列 {an } 的前 15 项和为 ?

f ( x) ? [ f ( x)] 2 ?


1 , an ? [f ( ) 设 n] 2

2

? (n) f ,



31 , 则f (15) = 16

分析:关键之一:不要误入化简函数式的误区;
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关键之二:能否看出 f ( x ) ? [ ,1) ;

1 2

1 1 关键之三: a n ? f (n)[ f (n) ? 1] ? ( ? a n ?1 ? )( ? a n ?1 ? ) 2 2
得 a n ? a n ?1 ? ? 答案:

1 3 3 ,从而 a15 ? ? ,反代可得 f (15) ? 4 4 16

3 4

二、解答题 [ 你能审出方法、步骤和注意点吗?能否做到会而不失分吗?] ★你能写好解题步骤吗? 1. (本题 14 分)在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的 5 个小球,这些小球除去标 注的数字外完全相同.甲、乙两人玩一种游戏, 甲先摸出一个球,记下球上的数字后放回, 乙再摸出一个小球,记下球上的数字, 如果两个数字之和为偶数则甲胜,否则为乙胜. (1)求两数字之和为6的概率; (2)这种游戏规则公平吗?试说明理由. (1)设“两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为---------------1分 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.---------4分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25( 个 ) 等 可 能 的 结 果 , 所以 P( A) ?

5 1 ? . 25 5

1 答:两数字之和为6的概率为 . ---------------------------------------------7分 5
(2)这种游戏规则不公平. ----------------------------------------------------9分 设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, --------------------------------------10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3,), 1 (3, 3), (3, 5), (4, , 2) (4, 4), (5,) , 1 (5,3), (5,5).-----------------------12分 所以甲胜的概率P(B)=

13 13 12 ,从而乙胜的概率P(C)=1- = . 25 25 25

由于 P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.---------------------14 分 ★你能用好三角公式并简单讨论吗? 2. (本题 14 分)在 ?ABC 中, ?A 、 ?B 、 ?C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c . 满足 2a cos C ? c cos A ? b . (1)求 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值.
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解: (1)由正弦定理及 2a cos C ? c cos A ? b 得, 2 sin A cos C ? sin C cos A ? sin B . 在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ,? A ? C ? ? ? B ,即 sin(A ? C ) ? sin B .---3 分

? 2 sin A cosC ? sin C cos A ? sin( A ? C) ? sin A cosC ? sin B ? sin A cosC ? sin B
A C ?s i n co s ? 0 又? 0 ? A ? ? , 0 ? C ? ? ,

? sin A ? 0 .? cos C ? 0 . ? C ?
(2)由(1) C ?

?
2

.-------------------------------------------------------7 分

?

2 2 ? sin A ? sin B ? sin A ? cos A

,? A ? B ?

?

,即 B ?

?
2

? A.

? 2 sin( A ?

?

?

?
4

? A?

?
4

?

?当 A ?

?
4

3? . 4

4

), 0 ? A ?

?
2

,------------------------------------------12 分

时, sin A ? sin B 取得最大值 2 .-----------------------------------------14 分
2

3. (本题 14 分)已知 f ( x) ? sin x cos x ? cos x ? (1)求 f (x) 的对称轴方程;

1 . 2

(2)将函数 f (x) 的图象按向量 a 平移后得到函数 g (x) 的图象,若 y ? g (x) 的图象关于点

( ,0) 对称,求 a 的最小值. 2 1 1 ? cos 2 x 1 ? 解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 2

?

?
由 2x ?

1 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) ----------------------------------3 分 2 2 4

k? ? ? ,k ?Z 4 2 2 8 k? ? ? , k ? Z . -------------------------------------------7 分 ? f (x) 的对称轴方程为 x ? 2 8

?

? k? ?

?

得x?

(2)由题意可设 a ? (m,0) 则 g ( x) ?

2 ? sin(2 x ? 2m ? ) -------------------------9 分 2 4 2 ? sin(? ? ? 2m) ? 0 ,-----11 分 2 4

又因为 g (x) 的图象关于点 (

?
2

,0) 对称,则有



5? 5? k? 5? k? ? 2m ? k? ,? m ? ? , k ? Z .? a ? ? ,k ?Z 4 8 2 8 2
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所以当 k ? 1 时,? a min ?

?
8

. ------------------------------------------14 分

★你能用设而不求法和韦达定理计算吗? 4.(本小题共 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设点 P( x, y), M ( x, ?4) ,以线段 PM 为直径的 圆经过原点 O . (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; (2)过点 E (0, ?4) 的直线 l 与轨迹 W 交于两点 A, B ,点 A 关于 y 轴的对称点为 A' ,试判 断直线 A ' B 是否恒过一定点,并证明你的结论. 解: (1)由题意可得 OP ? OM , ------------------------------------2 分 -----------------------------4 分
2

所以 OP ? OM ? 0 ,即 ( x, y)( x, ?4) ? 0
2

??? ???? ? ?

即 x ? 4 y ? 0 ,即动点 P 的轨迹 W 的方程为 x ? 4 y

---------------------5 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A '(? x1 , y1 ) . 由?

? y ? kx ? 4 2 消 y 整理得 x ? 4kx ? 16 ? 0 , -----------------------------6 分 2 ? x ? 4y
2

则 ? ? 16k ? 64 ? 0 ,即 | k |? 2 .

--------------------------------------8 分

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 16 .
直线 A ' B : y ? y2 ?

---------------------------------------------10 分

y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1

?y ? ?y ? ?y ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) ? y 2 x2 ? x1 x2 2 ? x12 1 ( x ? x2 ) ? x2 2 4( x1 ? x2 ) 4

---------------------------------13 分

x2 ? x1 x 2 ? x1 x2 1 2 x? 2 ? x2 4 4 4 x ?x xx ? y? 2 1 x? 1 2 4 4

即y?

x2 ? x1 x?4 4
---------------------------------14 分

所以,直线 A ' B 恒过定点 (0, 4) . ★你能注意“分类讨论”吗?

5. (本题 15 分)已知整数列 {an } 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项
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起依次成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求出所有的正整数 m,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 . 解(1)设数列前 6 项的公差为 d,d 为整数, 则 a5 ? ?1 ? 2d , a6 ? ?1 ? 3d ,d 为整数, 又 a5 , a6 , a7 成等比数列,所以 (3d ? 1) 2 ? 4(2d ? 1) , 解得 d ? 1 ,-----------------------------------------------------------------------4 分 当 n≤6 时, an ? n ? 4 , 由此 a5 ? 1 , a6 ? 2 ,数列第 5 项起构成以 2 为公比的等比数列. 当 n≥5 时, an ? 2 n?5 , 故通项公式为 a n ? ?

?n ? 4 n ? 4 ,------------------------------------------8 分 n ?5 n?5 ?2

(2)由(1)知数列 {an } 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,? 当 m=1 时等式成立,即-3-2-1= -6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即-1+0+1= -6=0; 当 m=2、4 时等式不成立;--------------------------------------------------------12 分 当 m≥5 时,即 am ? am?1 ? am?2 ? 2 m?5 (23 ? 1) , am am?1am?2 ? 23m?12 所以 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 ; 故所求的 m=1,或 m=2--------------------------------------------------------------15 分 ★你能挖掘“隐含条件”吗? 6. (本题 16 分)设数列{ an }的前 n 项积为 Tn , Tn ? 1 ? an .数列{ bn }的前 n 项和为 S n ,

S n ? 1 ? bn .若 C n ?

1 . Tn

(1)证明数列{ C n }成等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (2)若 Tn (nbn ? n ? 2) ≤kn 对 n ?N*恒成立,求实数 k 的取值范围.
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(1)证明:由 Tn ? 1 ? an ,得 Tn?1 ? 1 ? an?1 且 T1 ? a1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ?

1 1 , C1 ? 2 ,又 C n ?1 ? C n ? (1 ? an?1 ) ? 1 ,--------------4 分 2 Tn?1

所以数列{ C n }以 2 为首项 1 为公差的成等差数列;-------------------------5 分

Cn ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 ,
Tn ?
n 1 1 , ? ? 1 ? a n ,得 a n ? n ?1 Cn n ? 1

1 n 也满足,所以数列{ an }的通项公式 a n ? ;-------------8 分 2 n ?1 1 (2)解:由 S n ? 1 ? bn ,得 b1 ? , 2 1 1 S n?1 ? S n ? bn ? bn?1 ? bn?1 ,得 bn ?1 ? bn ,所以 bn ? ( ) n ,--------10 分 2 2 1 1 Tn (nbn ? n ? 2) ? [n( ) n ? n ? 2] n ?1 2 1 1 n n?2 [( ) ? ] ,----------------------------------------------------------12 分 k≥ n ?1 2 n 1 1 n?2 [( ) n ? ] , (求 g (n) 的最大值) 令 g (n) ? n ?1 2 n
因为 a1 ?

n(n ? 3) ? (n ? 4)2 n?1 , g (n ? 1) ? g (n) ? ? n(n ? 1)(n ? 2)2 n?1
当 n≥4 时 g (n ? 1) ? g (n) <0, g (n) 的最大值为 g ( 4) ? 而 g (1) ? ?

9 ------------14 分 80

1 1 11 , g ( 2) ? , g (3) ? 4 12 96 11 所以 g (n) 的最大值为 g (3) ? , 96 11 实数 k 的取值范围为 k≥ -------------------------------------------------------16 分 96
★你能看得懂 “不规则图形”并不跳步证明吗? 7. (本题 14 分)如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面 1

B

B1

ABB1 A1 ? AAC1C , A1B ? AB ? AC ? 1 . 1
求证: (1) AA1 ? BC1 ; (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离.

A

A1

C

C1

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证明:设 AA1 中点为 D ,连 C 、 D . 因为 A1 B ? AB ,所以 BD ? AA1 .--------------------------2 分 因为面 ABB A1 ? AA C1C ,所以 BD ? 面 AA1C1C .----------4 分 1 1 又 ?ACC1 为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1 D ? AA . ------6 分 1 从而 BC1 ? AA . 1 ----------------------------8 分

解: (2) 由(1) ,有 BD ? C1D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1DB . 设 A1 到面 ABC 的距离为 h ,则 hS ?ABC ? VB ?CAC1 ? VB ?CDC1 . 因为 VC ?C1DB 所以 h ?

1 3

A

1 ? CC1 ? S ?C1DB , 3


S?C1DB S?ABC

B
2

E

C

又 C1D ? BD ,且 2 S ?C1DB ? C1 D ? BD ? BD ? 设 ?ABC 的高为 AE , 则 BC ? BC1 ? CC1 ? 2 BD ? 1 ?
2 2 2 2

3 .---------------10 分 4

3 5 ?1 ? , 2 2

1 5 3 5 3 15 AE ? 1 ? ? ? , 2S ?ABC ? . ? ? 4 2 8 2 8 4
于是有 h ?

3 15

?

15 15 ,即 A1 到平面 ABC 的距离为 .----14 分 5 5

8. (本题满分 15 分)一个多面体如图,ABCD 是边长为 a 的正方形,AB=FB,FB⊥平面 ABCD,

ED∥FB,G,H 分别为 AE,CE 中点.
(1)试问:这个多面体是几多面体(不必证明)? (2)求证:GH∥平面 ACF; (3)当平面 ACE⊥平面 ACF 时,求 DE 的长.

E H G D

F

C B

A
(1)是 7 多面体; (2)证明:如图,连结 AC,在△ACE 中, ∵G,H 分别为 AE,CE 中点,∴GH∥AC---------6 分
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------------------------------------------------4 分

E H G D

F

C B

A

又 AC ? 平面 ACF,且 GH ? 平面 ACF,----------8 分 所以 GH∥平面 ACF; -------------------------------9 分 (3)解:如图,连结 DB,交 AC 于 O,连结 EO,FO, ∵ABCD 是正方形,FB⊥平面 ABCD,ED∥FB, ∴Rt△ADE≌Rt△CDE,得 AE=CE,EO⊥AC, ∵EO ? 平面 ACE,AC ? 平面 ACF,AC∩OF=O, ∴只要 EO⊥FO,就有平面 ACE⊥平面 ACF,-----10 分

E H G D O A

F

C B

1 2 设 DE 的长为 x,在 Rt△ODE 中, OE ? x ? a , 2 1 2 3 2 2 2 在 Rt△OBF 中, OF ? a ? a ? a , 2 2
2 2

EF 2 ? 2a 2 ? ( x ? a) 2
EF 2 ? OE 2 ? OF 2 ,解得 x ?
1 a 2
1 a ------------------------------------15 分 2
D1 A1 B1 C1

即平面 ACE⊥平面 ACF 时,DE 的长为

(如求二面角 E—AC—E 的平面角也可相应得分,但不提倡) 9. (本题 14 分)在直平行六面体 AC1 中, ABCD 是菱形,

?DAB ? 60? , AC ? BD ? O , AB ? AA1 .
(1)求证: C1O // 平面 AB1D1 ; (2)求证:平面 AB1D1 ? 平面 ACC1 A ; 1 (3)求直线 AC 与平面 AB1D1 所成角的正弦值. 证明: (1)连接 AC1 交 B1D1 于 O1 ,连结 AO1 . 1 在平行四边形 AAC1C 中, C1O1 // AO , C1O1 ? AO , 1
A

D O B

C

? 四边形 AOC1O1 为平行四边形. ? C1O // AO1 .-----3 分 ? C1O ? 平面 AB1D1 , AO1 ? 平面 AB1D1 ,-----------4 分 ? C1O // 平面 AB1D1 .------------------------------------------5 分
(2)在直平行六面体 AC1 中, A1 A ? 平面 A1B1C1D1 ,
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D1 O1 A1 B1

C1

D A O B

C

? A1 A ? B1D1 . ? 四边形 A1B1C1D1 为菱形,? B1D1 ? AC1 .--------------------------------------------7 分 1 ? AC1 ? AA1 ? A1 , A1C1 ? 平面 ACC1 A1 , AA1 ? 平面 ACC1 A1 ,--------------9 分 1 ? B1D1 ? 平面 ACC1 A1 . ? B1D1 ? 平面 AB1D1 ,? 平面 AB1D1 ? 平面 ACC1 A1 .-------------------------------10 分
(3)过 C 作 CH ? AO1 交 AO1 于 H .

? 平面 AB1D1 ? 平面 ACC1 A1 ,平面 AB1D1 ? 平面 ACC1 A1 ? AO1 , ? CH ? 平面 AB1D1 .? AH 为 AC 在平面 AB1D1 上的射影. ? ?CAH 是 AC 与平面 AB1D1 所成的角.-----------------11 分
? 设 AB ? 2 ,在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,

D1 O1 A1 H D A O B B1

C1

C

? AC ? 2 3 .-------------------------------12 分
在 Rt ?AA1O1 中, AO1 ? 7 .

? AO1 ? CH ? AC ? OO1 ,? CH ?
.? sin CAH ?

4 21 7

CH 2 7 ? .--------------------------------------------------------------14 分 AC 7

★你能同时用好“由因导果和执果索因”的证明吗? 10. (本小题满分 14 分)已知常数 a 为正实数,在曲线 C n : y ?

nx 上一点 P( xn , yn ) 处的切

线 Ln 总经过定点 (?a,0), (n ? N*).求证点列: P , P2 ,?, Pn 在同一直线上. 1 (关键是: Pi 在同一直线上有三种情况:① x i 相同;② y i 相同;③

yi 为常数) xi

证法一: f ( x) ? nx ? f ' ( x) ?

1 2 nx

? (nx)' ?

1 n ? 2 x

----------------------3 分

C n : y ? nx 上一点 P( xn , yn ) 处的切线 Ln 的斜率 k n ? f ' ( xn ) ?
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1 n ? 2 xn

Ln的方程为 y ? y n ?

1 n ? ( x ? x n ) ------------------------------------------7 分 2 xn

1 n 1 n ? Ln 经过点(?a,0) ? y n ? ? ? (?a ? x n ) ? ? (a ? x n ) 2 xn 2 xn 又 ? Pn 在曲线C n 上 ? y n ? nxn ? ? x n ? a,? y n ? na 1 n ? (a ? x n ) 2 xn
---------10 分

? Pn (a, na )总在直线x ? a上

即 P , P2 ,?, Pn 在同一直线 x=a 上 --------------------------------------------14 分 1 证法二:设切线 L n 的斜率为 k n , 由切线过点 (?a,0) 得切线方程为 y=k n (x+a)--------------------------------3 分 则方程组 ?

? y ? k n ( x ? a)
2 ? y ? nx( y ? 0)

的解为 ?

? x ? xn , ? y ? yn

2 2 2 用代入法消去 y 化简得 k n x 2 ? (2akn ? n) x ? k n a 2 ? 0 (*) -----7 分

有 ? ? (2ak n ? n) ? 4k n ? k n a ? ?4ank n ? n ? 0 ? k n ?
2 2 2 2 2 2 2 2

n 4a



n 2 n n x ? ( 2a ? ? n) x ? ? a 2 ? 0即x 2 ? 2a ? x ? a 2 ? 0 --------10 分 4a 4a 4a

? x ? a即有xn ? a, yn ? nxn ? na
即 P , P2 ,?, Pn 在同一直线 x=a 上 -------------------------------------------14 分 1 ★你能做到运算不错、有意志做吗? 11. (本小题满分 14 分) 设不等式组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D . 区域 D 内的动点 P 到 ?x ? y ? 0

直线 x ? y ? 0 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点

F ( 2 2 0 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求 ,)
直线 l 的斜率. 解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示. 设动点为 P ( x, y ) ,则

y

x? y 2

?

x? y 2

? 2,

2 2 即 x ? y ? 4 .-------------------------2 分

O

x

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由 P ? D 知 x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2 -y2 <0. 所以 y2 -x2 =4(y>0),即曲线 C 的方程为

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) ------------------4 分 4 4
x1 ? x2 y1 ? y2 , ). 2 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,以 AB 为直径的圆心 Q (

以 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? 1 AB ? x1 ? x2 , 2 2 即 AB ? x1 ? x2 . ① ---------------------------------------------6 分

因为直线 AB 过点 F(2 2,0),当 AB ? x 轴时,不合题意.-----------------8 分 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). 代入双曲线方程 - =1(y>0)得, 4 4

y2 x2

k2 (x-2 2)2 -x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2 x+(8k2 -4)=0.
因为直线与双曲线交于 A,B 两点,所以 k≠±1.------------------------10 分 8k2 -4 4 2k2 所以 x1+x2 = 2 ,x1x2 = 2 . k -1 k -1 所以|AB|= (x1-x2 )2+(y1-y2 )2= (1+k2 )[(x1+x2 )2-4x1x2 ] = 4 2k2 ?4 2k2?2 8k -4 (1+k )[? 2 ? -4? 2 ]=|x1+x2 |=| 2 |, k -1 k -1 ? k -1 ?
2 2

化简得:k4+2 k2 -1=0,----------------------------------------------------------------12 分 解得 k2= 2-1(k2 =- 2-1 不合题意,舍去) . 由△=(4 2k2 )2-4(k2-1) (8k2 -4) =3k2 -1>0, 又由于 y>0,所以-1<k<- 所以 k=- 2-1 3 . 3 --------------------------------------------------------------14 分

★你能有机利用平几知识来解题吗? 12. (本题 16 分)已知在△ ABC 中,点 A 、B 的坐标分别为 (?2,0) 和 ( 2,0) ,点 C 在 x 轴上方. (1)若点 C 的坐标为 (2,3) ,求以 A 、 B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; (2)若∠ ACB ? 45 ,求△ ABC 的外接圆的方程;
?

(3)若在给定直线 y ? x ? t 上任取一点 P ,从点 P 向(2)中圆引一条切线,切点为 Q . 问 是否存在一个定点 M ,恒有 PM ? PQ ?若存在,求出 t 的取值范围;若不存在,请
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说明理由. 解: (1)因为 AC=5,BC=3,所以椭圆的长轴长 2a ? AC ? BC ? 8 ----------3 分 又 c=2,所以 b = 2 3 ,故所求椭圆的方程为 (2)因为

x2 y 2 ? ? 1 --------------5 分 16 12

AC ? 2 R ,所以 2R ? 4 2 ,即 R ? 2 2 ------------------7 分 sin C

又圆心在 AB 的垂直平分线上,故可设圆心为(0,s) (s>0) ,
2 则由 4 ? s ? 8 ,解得 s ? 2 ,所以△ ABC 的外接圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 8 -10 分

(3)假设存在这样的点 M(m,n) ,设点 P 的坐标为 ( x, x ? t ) , 因为恒有 PM ? PQ ,所以 ( x ? m)2 ? ( x ? t ? n)2 ? x2 ? ( x ? t ? 2)2 ? 8 , 即 (2m ? 2n ? 4) x ? (m2 ? n2 ? 2nt ? 4t ? 4) ? 0 对 x ? R 恒成立-------------13 分 从而 ?

2m ? 2n ? 4 ? 0 ,消去 m,得 n2 ? (t ? 2)n ? (2t ? 4) ? 0 2 ?m ? n ? 2nt ? 4t ? 4 ? 0 ?
2
2

(*) ,

因为方程(*)的判别式为 ? ? t ? 4t ? 12 ,所以 ①当 ?2 ? t ? 6 时,因为方程(*)无实数解,所以不存在这样的点 m-------14 分 ②当 t ? 6 或 t ? ?2 时,因为方程(*)有实数解,且此时直线 y ? x ? t 与圆相离或相切, 故此时这样的点 m 存在------------------------------------------16 分 13. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C : 斜率为

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 过坐标原点 O 且 2 2 a b

1 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B , | AB |? 2 10 . 2 (1)求 a 、 b 的值;
2 2 (2)若动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共点,试求 m 的取值范围.

⑴依题意, l : y ?

x ,不妨设设 A(2t , t ) 、 B(?2t , ? t ) ( t ? 0 )-----2 分, 2
2

由 | AB |? 2 10 得 20t ? 40 , t ?

2 --------------------------------3 分,

2 ?8 ?a2 ? b2 ? 1 ? 所以 ? ------------------------------------------5 分, 2 2 ?c ? a ? b ? 3 ?a a 2 ?
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解得 a ? 4 , b ? 2 -------------------------------------------------6 分.

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 ⑵由 ? 16 消去 y 得 3x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 -------------7 分, 4 ?( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 ?
动圆与椭圆没有公共点, 当且仅当 ? ? (?8m) 2 ? 4 ? 3 ? (4m 2 ? 12) ? 16m 2 ? 144 ? 0 或 | m |? 5 ---9 分, 解得 | m |? 3 或 | m |? 5 ----------------------------------------------10 分 动圆 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 1 与直线 y ? 即 | m |? 解?

x |m| ?1, 没有公共点当且仅当 2 5

5 -------------------------------------------------------12 分
或?

?| m |? 3 ?| m |? 5

?| m |? 5 ?| m |? 5

------------------------------------------13 分,

得 m 的取值范围为 m | 5 ? m ? 3或m ? 5或 ? 3 ? m ? ? 5或m ? ?5 --------14 分 14.(本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? a ln x ? bx(a ? 0) . (1)若 f (1) ? g (1), f '(1) ? g '(1) ,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极小值; (2)在(Ⅰ)的结论下,是否存在实常数 k 和 m ,使得 f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m ? 若存在,求出 k 和 m 的值.若不存在,说明理由; (3) G( ) ? ( ) 2 ?( x 设 x fx ? g ) 值的符号. 解: (1)由 f (1) ? g (1), f '(1) ? g '(1) ,得 ?
2

?

?

有两个零点 x1 , x2 , x1 , x ,2x 成等差数列, 且 试探究 G '( x0 ) 0

? b ?1 ,解得 a ? b ? 1 -----------2 分 ?a ? b ? 2

则 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) = x ? ln x ? x , 利用导数方法可得 F ( x ) 的极小值为 F (1) ? 0 -----------------------------5 分
2 (2)因 f ( x ) 与 g ( x) 有一个公共点 (1,1) ,而函数 f ( x) ? x 在点 (1,1)的切线方程为

y ? 2x ?1 ,
下面验证 ?

? f ( x) ? 2 x ? 1 都成立即可------------------------------------7 分 ? g ( x) ? 2 x ? 1
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由 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 2 x ? 1,知 f ( x) ? 2 x ? 1 恒成立----------------8 分
2 2

设 h( x) ? ln x ? x ? (2 x ? 1) ,即 h( x) ? ln x ? x ? 1 , 易知其在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减, 所以 h( x) ? ln x ? x ? (2 x ? 1) 的最大值为 h(1) ? 0 ,所以 ln x ? x ? 2 x ? 1 恒成立. 故存在这样的 k 和 m,且 k ? 2, m ? ?1 ----------------------------------10 分 (3) G '( x0 ) 的符号为正. ----------------------------------------------11 分 理由为:因为 G( x) ? x ? 2 ? a ln x ? bx 有两个零点 x1 , x2 ,
2

? x12 ? 2 ? a ln x1 ? bx1 ? 0 ? 则有 ? 2 , ? x2 ? 2 ? a ln x2 ? bx2 ? 0 ?
两式相减得 x22 ? x12 ? a(ln x2 ? ln x1 ) ? b( x2 ? x1 ) ? 0 ---------------------12 分 即 x2 ? x1 ? b ?

a(ln x2 ? ln x1 ) a 2a ,于是 G '( x0 ) ? 2 x0 ? ? b ? ( x1 ? x2 ? b) ? x2 ? x1 x0 x1 ? x2

?

a(ln x2 ? ln x1 ) x 2( x2 ? x1 ) 2a a ? ? [ln 2 ? ] x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 x1 x1 ? x2
2(

x2 ? 1) x2 x1 a ? [ln ? ] -------------------------------------14 分 x2 x2 ? x1 x1 1? x1
①当 0 ? x1 ? x2 时,令 设 u (t ) ? ln t ? 则 u '(t ) ? ?

x2 a 2(t ? 1) ? t ,则 t ? 1 ,且 G '( x0 ) ? (ln t ? ). x1 x2 ? x1 1? t

2(t ? 1) (t ? 1) , 1? t

1 4 (1 ? t )2 ? ? 0, t (1 ? t )2 t (1 ? t )2

2(t ? 1) 在 (1, ??) 上为增函数. 1? t 2(t ? 1) ? 0. 而 u(1) ? 0 ,所以 u(t ) ? 0 ,即 ln t ? 1? t
则 u (t ) ? ln t ? 又因为 a ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,所以 G '( x0 ) ? 0 .
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②当 0 ? x2 ? x1 时,同理可得: G '( x0 ) ? 0 . 综上所述: G '( x0 ) 的符号为正------------------------------------16 分 ★你能正确使用切点与交点吗? 15. (本小题满分 16 分)如图,在函数 y ? x 3 ? x 的图像上取 4 个点 Ai ( xi , yi ) ,过点 Ai 作切 线 l i ( i ? 1,2,3,4) ,如果 l1 ∥ l 3 ,且 l1 , l2 , l3 , l 4 围成的图形是矩形记为 M. (1)证明四边形 A1 A2 A3 A4 是平行四边形; (2)问矩形 M 的短边与长边的比是否有最大值,若有,求 l1 与 l 2 的斜率,若没有, 请证明.

y

l3
A2 0 A3 A4

l1
A1

x

l2 l4

(1)设直线 l i 的斜率为 k i ( i ? 1,2,3,4) , 由 y ? ? 3x ? 1 ,得 ki ? 3xi2 ? 1
2

------------------------------2 分

由题意 k1 ? k 3 , k 2 ? k 4 ,又点 A1 A2 A3 A4 不重合,故 x1 ? ? x3 , x2 ? ? x4 , 从而 y1 ? ? y3 , y2 ? ? y4 ,---------------------------------------------5 分 因此 A1与A3 , A2 与A4 都关于原点对称, 故四边形 A1 A2 A3 A4 是平行四边形;------------------------------------7 分 (2)有最大值; 设 k1 ? 0 , k 2 ? 0 ---------------------------------------------------9 分

li : y ? yi ? ki ( x ? xi ) ,即 y ? ki x ? 2xi3 ? 0 ,且 k1k 2 ? ?1
设 l1 与 l 3 的距离为 d1 ?

4 | x13 | 1 ? k12

, l 2 与 l 4 的距离为 d 2 ?

3 4 | x2 | 2 1 ? k2

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2 d2 x 6 1 ? k12 ? k 2 ? 1 ? 1 ? k12 1 ? k1 ? 1 ? ? 2 ? ?? 1 6 2 ? k ? 1 ? 1 ? k 2 ? k ? k ? 1 ? (k>1)-------11 分 ? ? ? d1 x1 1 ? k 2 ? 1 1 ? 1 ? ? 2

3

3

令 g ( x) ?

( x ? 1) 3 (x>1) x( x ? 1) 3

( x ? 1) 2 ( x 2 ? 6 x ? 1) [ x ? (3 ? 10)][x ? (3 ? 10)](x ? 1) 2 , g ?( x) ? ? ? x 2 ( x ? 1) 4 x 2 ( x ? 1) 4
当 1 ? x ? 3 ? 10 时为增函数, 当 x ? 3 ? 10 时为减函数, 故当 x ? 3 ? 10 , g max ( x) ?

(2 ? 10) 3 (3 ? 10)(4 ? 10) 3

---------------14 分

因为

(2 ? 10) 3 (3 ? 10)(4 ? 10) 3

? 1 ,因此矩形 M 的短边与长边的比有最大值,

l1 与 l 2 的斜率分别为 3 ? 10 和 3 ? 10 ,-----------------------------16 分

2013.5.22

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