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高中数学中转化与化归思想的应用

高中数学中转化与化归思想的应用


高中数学中“转化与化归 "思想 的应用 ,C一婚



(新疆农二师华山中学,新疆库尔勒841000) 数学思想是数学的灵魂,是解题的航标灯。数学中的主要
思想有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化

与化归思想等。“转化与化归”思想是解决问题的一种基本思
想,即把要解决的问题通过一系列的转化与化归。使其成为已 解决的或较易解决的问题。

1互为反函数,其图像关于直线y=x对称,又y:坐的图像也关 于直线y≈对称,故由对称性知,x。锡:塑,得x。.x2-2008。


】【2

事实上.解题的过程就是从题目的条件不断向解题目
标变形、靠近的过程。因此,利用目标导航,进行灵活转化是让

2.一般与特殊的转化

辩证唯物主义认为:矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之
中。人类的认识活动,总是先认识个别的、特殊的事物,再通过 概括和推理来认识一般事物的。很多数学问题.其特殊情况与 一般情况存在共性,通过对特殊情况的研究常能找出一般问

解题思路来得自然的重要途径。“数学家们也往往不是对问题 进行正面的攻击.而是将7vY.不断地变形.直到把它转化为能够 解决的问题”(匈牙利数学家路莎?彼得语)。所以,学习掌握
数学家们把新问题转化为已经解决的思维策略是十分必要

的。下面通过具体的四个实例介绍如何利用转化思想实现问
题解决。 1.数与形的转化

题的规律,得到一般问题的结论。所以,当问题不易处理时,我 们可以考虑它的特殊情况。进而推导出一般的结论。

例2:已知f(x)=———二—一,求f(一2007)+(一2006)+(一
21+、/虿
时.我们可将抽象的数转化为直观 2005)+…“(0)+…“(2007)+f(2008)。 解析:本题逐项求值是不现实的。但由表达式很容易使人 想到倒序相加法,则必有f(2008)“(一2007)--f(2007)+f(一2006) =…--f(O)+f(1)。

当问题是以代数的形式给出的.而有明显的几何背景




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的形。使得问题的解决简洁、生动。 例l:已知x.是方程xl铲=2008的

.厅 若为填空题,则只需计算f(o)“(1)=半;若为大题,则

二 二



由f(o)“(1):!三联想到对f(x)“(1-x):!三的推导过程。
所以.此题的结果为1004、/2。
3.正与反的转化


有些问题,正面人手情况复杂,这时考虑反面,则可使问

否有一个适宜的环境和氛围。理学研究表明:只有在轻松、自

陶行知先生曾说过:“发明千千万,起点是一向。”一切发 明创造都始于问题的产生。而发现问题又源于强烈的问题意 识。学生想提问题,会提问题.敢提问题,具有一定的问题意 识.在数学课程的学习和研究上才能有所成就。数学教学中。 教师应采取多种教学措施,加强对学生问题意识的培养,促

然、安静的氛围中,学生容易产生好奇心和求知欲,创造力才
容易被激发出来。在数学教学活动中,教师要真正确立学生是 学习的主人而教师则是学习的组织者、引导者和合作者的观 念,改变过去教师一讲到底、包办代替,模仿型的训练多、思考

型的问题少,告诉现成结论多、学生探究发现少等现象。教师
要相信学生的发展潜力。要保护学生的自尊心.要尊重学生的 人格。建立新型的师生交往关系。教师要营造一种平等、和谐、 宽松的教学环境,消除学生的紧张感、压抑感、焦虑感,有意识 地培养学生质疑问难的勇气和兴趣.启发诱导学生积极思考. 凡事都问个为什么。不迷信教材.敢于向教师挑战,敢于发表 个人的见解和对某一问题的评论。鼓励标新立异、异想天开。

使其学习方式的转变。并形成科学的思维方式,使他们有更多
的机会去发现和研究,达到《标准》提出的要求,从而实现使不 同层次的学生都学到有用的数学,在数学能力上得到不同的 发展。

普通高中数学新课程目标。从宏观上看反映了社会、数
学、教育的发展对数学教育的要求。具有鲜明的时代特征;从

让每个学生都有平等的受教育的机会,充分爱护每个学生的 问题意识,使其形成探索创新的心理愿望,使积极的认知情感
伴随数学学习活动的始终.让学生在弓教师的平等对话中个

微观j二看反映了对知识性质研究的最新成果.符合知识形成、 发生、发展、创新的规律与特点,符合学生的认知规律。高中数 学新课程的实施必将提高学生学习的主动性与有效性,促进 学生身心的健康发展,从而加快素质教育的实施,实现人与社
会全面和谐的发展。 参考文献:

性得到张扬、潜能得到释放,真正成为敢想、敢问、敢说、敢做
的学习主人。

《标准》中把培养学生的问题意识作为数学教学的重要目
标之一,数学教学中对学生问题意识的培养,有利于促进学生 的认知发展,促使学生主动发现问题、思考问题、解决问题。美 国教育专家鲁巴克认为:“最精湛的教学艺术遵循的最高准 则,就是学生自己提问题。”提问是怀疑的外在表现,怀疑引起 反思,反思导致探索,探索促进创造。,因此,在数学教学活动过 程中,教师不仅要善于提问,而且要满腔热情地鼓励学生自己 提出问题.培养学生的问题意识。

[1]普通高中数学课程标准实验教科书编委会(章建跃执 笔).普通高中数学课程标准教材的研究与编写[J].课程?教
材?教法,2005,(1).

[2]林仙.数学新课程标准下学生问题意识的培养[J].红
河学院教师教育学院,2006,(2).

[3]黄兴丰.Clarke教授谈数学教育理论中的二分法[J].数
学教学.2006.3.

万方数据

农村公办高中数学如何教与学
杨学英
(昌黎县第七中学,河北昌黎066600) 摘 要:本文针对农村国办高中生源差。农村公办高中 教师普遍感到上课难等问题.论述了农村公办高中数学的教 与学之间的关系.并从教师与学生两方面提出如何促使学生学 好数学的方法。 关键词:农村公办高中数学教学教学 学生 数学是学校必须开设的一门文化课。是学生必须学习的专 业理论知识。由于农村国中的生源普遍较差,数学基础差的学 生的比例较大。上好数学课是广大数学教师普遍关注的问题。 一、农村公办高中学生数学学习存在的主要问题 农村公办高中的学生大多数是经过中考后的层层选拔而 剩下的.这些学生主要存在以下几个问题:


1.基础知识薄弱。

对概念模糊,基本公式、原理、性质不清,更谈不上理解, 各个知识点互相独立。处于似懂非懂的状态。而且语文底子 差。感知能力差。基本上没有掌握数学思维方法。 2.认识能力差,思维呆板.不灵活。缺乏联想。 抓不住问题的实质与重点、要害,思维难以展开,更不用 说进行联想,在问题面前常常毫无头绪,无所适从。
3.灵活运用能力差。

对概念、公式、原理、性质只能死记硬背,直接运用,解题 方法只能模仿,生搬硬套。运算能力差。 4.没有良好的审题习惯和规范的解题格式。 审题抓不住重点、要点、实质。解题步骤混乱,推理不严 谨。格式不完整.漏洞很多。 5.缺乏对数学的热情、兴趣和恒心。 上课的时候不能认真听讲,不积极主动思考,作业马虎、 抄袭.不懂的问题不问。
二、改革教师的“教”和学生的“学”

正如前苏联教学论专家巴班斯基指出的:教学方法是由学习 方式和教学方式运用的协调一致的效果决定的。即教学方法 是授教与学相互依存的教学规律所制约的。 (2)“开门造车”,注重方法。 教师要指导学生“开门造车”。让他们暴露学习中的问题。 有针对地指导听课,强化双基训练.对综合能力要求较高的问 题.指导他们学会利用等价转换、类比、化归等数学思想.将问 题转化为若干基础问题.还可以组织他们学习他人成功的经 验.改进学习方法,逐步提高能力。 (3)“举一反三”,提高能力。 “上课能听懂,作业能完成,就是成绩提不高”。因此.教学中 教师要编制“套题”(知识性,技能性)、“类题”(基础类。综合类,方 法类)、“变式题”(变条件,变结论,变思想,变方法)。并对其中具 有代表性的问题进行详尽的剖析。起到“举一反三”、“触类旁通” 的作用,这有利于提高基础差、底子薄学生的数学能力。 (4)加强对学生抽象思维能力的培养和思维强度、广度的 训练。 教学中教师要有意识使学生注意概念、规律中关键字句 的意义,使之透彻理解.避免死记硬背;为了克服对字母运算 的缺陷,教师要有意识地多用代数式来表示数学概念及其意 义。并强调作业要先进行字母运算,再代人数据计算;为了充 分发挥学生想象力丰富的优势。教师讲解时要留有充分的时 问让他们多联想.并进行适当的启发。使抽象的概念形象化。 2.学生如何学。 (1)制订周密可行的学习计划。 学生要根据自己的基础实际和学习需要,确定努力目标, 制订达到目标的计划,包括作息时间的安排、阅读什么数学书 籍(包括课本)、选取什么数学习题册进行训练、看书与练习的 时间如何分配、各个内容的学习进度和自查时间,等等。
(2)做好课前预习。

针对农村公办高中学生存在的问题。我们应从学生及教 师两方面来改革。
1.教师如何教。

(1)适应数学教学方法的改革。 现代教学理论认为,教学方法包括教的方法和学的方法。

学生做好课前预习.认真阅读数学课本,对难理解的数学 概念和结论。最好通过特例加以思考;对数学公式和结论,最 好自己尝试推导:以课本例题为范例,先自己思考、动笔做。然 后再对照例题解答过程与自己解答过程的异同。从中反馈和

题大大简化。 例3:若二次函数f(x)---4x'-2(p一2)x一2p'-p+l在区间[一1, 1]内至少存在一点C,使f(c)>o,求实数p的取值范围。 解析:从正面考虑情况复杂,则从反面考虑。先求函数f(x) 在区间[一l。1]内不存在c。使f(c)>o的实数p的取值范围。
^if(-I)≤0 …If(1)≤O’


种.则问题转化为余下7个名额分为6部分。每部分至少1个,转 化为x+y+z=7的正整数解的个数问题(隔板原理),相当于2块

板插入6个空档中.Rpcl--15种分配方案。
但是。由于转化是从不同的角度和特征出发。把同一问题用 不同的形式在不同的水平|:转化,而且这种转化在实际解题中 要多次使用,冈此我们必须重视每一步转化的等价性,才能使转 化在规范、简洁的前提下保证转化的有效性。提高解题的正确性。 数学解题中的转化思想就是师生在长期的数学教与学 中.在知识、方法的不断学习与反复应用中提炼出来的认知数 学、处理问题的基本观点。再如在解方程、解不等式的过程中 总是把超越式化为代数式、无理式化为有理式、分式化为整 式、多元式化为一元式、高次化为低次;在立体几何中常把空 间问题转化为平面问题,等等。我们要逐渐悟出数学中把新转 化为旧、复杂转化为简单这一数学解题的规律。一旦悟出这些 高度概括的数学思想。在处理问题时会主动自觉地运用、调动 各种方法与手段去贯彻实现这种思想.解决问题。
93

得p≤一3或p≥二。
‘ ‘





故满足条件的实数的取值范围为一3<p<÷。




4.实际问题与数学建模的转化 排列组合问题通常需要将问题转化为某个模型。 例4:有10个优秀名额分到高=三年级一、二、三班,分到各 班的名额数不少于他们班级的序号,问有多少种分配方案? 解析:先分到二班一个名额,三班两个名额,方法只有一

万方数据

高中数学中"转化与化归"思想的应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 李娟 新疆农二师华山中学,新疆,库尔勒,841000 考试周刊 KAOSHI ZHOUKAN 2009,""(25) 0次

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk200925073.aspx 下载时间:2010年7月30日



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