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浙江省温州中学2012-2013学年高一下学期期末数学试题

浙江省温州中学2012-2013学年高一下学期期末数学试题


浙江省温州中学 2012-2013 学年高一下学期期末数学试题
一.选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角是( A. ) C.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6


2.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a5 ? a8 ? ( A. 7 B.

7 2

C. 2

D. 4

3.下列命题中,错误的是( ) .. A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 B. 如果平面 ? 垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? C. 如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D. 若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线 4.若 2 ? 2 ? 1, 则x ? y的取值范围是 (
x y

) C. [?2, ??) ) D. 240 ) D. (??, ?2]

A. 0, 2

?

?

B. ? ?2,0?

5.某几何体的三视图如题 ? 5 ? 图所示,则该几何体的体积为( A.

560 3

B.

580 3

C. 200

6.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 3

? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? (
C.

A.

1 3

B. ?

1 3

1 9

D. ?

1 9

7.在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别是 AA1 、 AB 上的点,若 ?NMC1 ? 90? , 1 那么 ?NMB1 =( A.大于 90? ) B.等于 90? C.小于 90? D.不能确定

8.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 a ? 2 3 , c ? 2 2 ,

1?

tan A 2c ? ,则 C =( tan B b


P

A.30° B.45° C.45° 135° 或 D.60° ? 9.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC ,∠ ACB = 90 , AE ⊥ PB 于 E , AF ⊥ PC 于 F ,若 PA ? AB ? 2 ,∠ BPC = ? ,则当 ?AEF 的面积最大时, tan ? 的值为 ( )
F

E

A.1

1 B. 2

C. 2

2 D. 2

A C

B

1

10.数列 ?an ? 满足 a1 ? 的整数部分是( A. 0

1 1 1 1 2 , an?1 ? an ? an (n ? N* ) ,则 m ? ? ??? 2 a1 ? 1 a2 ? 1 a2013 ? 1
) B. 1 C. 2 D. 3

二. 填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是_______. 12. 如数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 1 ,则数列 {an } 的通项公式为



D1

C1 B1

13.在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内的 1 动点,且 A1F / / 平面 D1 AE ,则 A F 与平面 BCC1B1 所成角的正切值的取值范围是 1 __________. 14.实数 x , y 满足 4x ? 4 y ? 5xy ? 5, 设 S ? x ? y , 则 S 的最小值为_________.
2 2 2 2

A1

.F
B

E

D

C

A

15.已知点 A(?1,0) , B(1,0) , C (0,1) ,直线 y ? ax ? b(a ? 0) 将 ?ABC 分割成面积相等 的两部分,则 b 的取值范围是_________. 三.解答题(共 40 分)

b 16. ?AC 中, A ,B ,C 的对边分别为 a , ,c , 在 B 角 且满足 (2a ? c) cos B
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 4, 求?ABC 的面积的最大值.

? b cosC.

17.已知直线 y ? 2 x 是 ?ABC 中 ?C 的平分线所在的直线,若 A , B 的坐标分别是

A(?4, 2) , B(3,1) ,求点 C 的坐标.
18. 如图, 已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折 起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ; (2)点 E 是线段 DB 上的一动点,当二面角 A ? EM ? D 大小为
M

? DE 时,试求 的值. DB 3
D

D

C
E C B

M

A

B

A

2

19.已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ? (1)求证:当 n ? 2 时,有 an ?

anbn ,n? N *, an 2 ? bn 2

2 成立; 2

?? b ? 2 ? ? n ? bn (2)设 bn ?1 ? , n ? N * ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ? (3)设 bn?1 ? anbn ,n ? N * ,试问 {an } 可能为等比数列吗?若可能,请求出公比的值,
若不可能,请说明理由.

温州中学 2012 学年第二学期期末考试
学号 班级 姓名 得分 ????????密????????????????封???????????????线?????????????

高一数学(理科)答题卷
一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 2 3 4 题号 1 答案 二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11. 14. 三、解答题(共 40 分) 16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 12. 15. 5 6 7 8 9 10

13.

(2a ? c) cos B ? b cosC.
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 4, 求?ABC 的面积的最大值.

17.已知直线 y ? 2 x 是 ?ABC 中 ?C 的平分线所在的直线,若 A , B 的坐标分别是

A(?4, 2) , B(3,1) ,求点 C 的坐标.
3

18.如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿

AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ;
(2)点 E 是线段 DB 上的一动点,当二面角 A ? EM ? D 大小为
M

? DE 时,试求 的值. DB 3
D

D

C
E C B

M

A

B

A

4

19.已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ? (1)求证:当 n ? 2 时,有 an ?

anbn ,n? N *, an 2 ? bn 2

2 成立; 2

?? b ? 2 ? ? n ? bn (2)设 bn ?1 ? , n ? N * ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ? (3)设 bn?1 ? anbn ,n ? N * ,试问 {an } 可能为等比数列吗?若可能,请求出公比的值,
若不可能,请说明理由.

温州中学 2012 学年第二学期期末考试 高一数学答题卷
一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 2 3 4 题号 1 B D D 答案 D 二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11. 5 C 6 C 7 B 8 B 9 D 10 B

6 13 27
10 13

12.

?2 n?1

13.

[2, 2 2]

14.

15.

(1 ?

2 1 , ) 2 2

三、解答题(共 36 分) 16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足

5

(2a ? c) cos B ? b cosC.
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 4, 求?ABC 的面积的最大值.

(2)根据余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, 有 ? a2 ? c2 ? ac 16

? a 2 ? c 2 ? 2ac (当且仅当 a ? c ? 2 时取“=”号)

?16 ? a2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac,
即 ac ? 16,??ABC 的面积 S ?

1 3 ac sin B ? ac ? 4 3, 2 4

且当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积的最大值为 4 3. 17.已知直线 y ? 2 x 是 ?ABC 中 ?C 的平分线所在的直线,若 A , B 的坐标分别是

A(?4, 2) , B(3,1) ,求点 C 的坐标.
? y '? 1 ? x '? 3 ? 2 ? ?1 ? 解:设点 B 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 B '( x ', y ') ,则有 ? ,解得 ? y '? 1 ? 2 ? x '? 3 ? 2 ? 2
1 1 B '(? 1, 3); 所以 l AB ':y ? 2 ? ( x ? 4) ; 而点 C 为 l AB ':y ? 2 ? ( x ? 4) 与直线 y ? 2 x 3 3
的交点,解得 C (2, 4) 。

18.如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿
6

AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ;
(2)点 E 是线段 DB 上的一动点,当二面角 A ? EM ? D 大小为
M

? DE 时,试求 的值. DB 3

D

C

D E

A

B

O

M B

C

A
(1)证明:过点 D 做 DO ? AM 于点 O,因为 AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点,所 以 AM ? AD ,所以 O 为 AM 中点。因为平面 ADM ? 平面 ABCM ,所以 DO ? 平面

ABCM ,所以 DO ? BM,又因为 AM ? BM ? 2 , AB ? 2 ,所以 ?ABM 为等腰直角 三角形,所以 AM ? BM,且 AM ? DO=O,所以 BM ? 平面 ADM ,所以 AD ? BM ; (2)因为 AD ? BM ,且 AD ? DM ,所以 AD ? 平面BMD ,过点 D 做 EM 的垂线
交 EM 于 T,连接 AT,则可知 ?DTA 就是所求的平面角,所以 ?DTA=

?
3

,所以易得

3 3 3 , sin ?DME = 。又 sin ?MBD = ,所以 ?DEM ? ?DMB ,解得 3 3 3 DE 1 3 ? 。 ,所以 DE = DB 3 3 DT =

19.已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ? (1)求证:当 n ? 2 时,有 an ?

anbn ,n? N *, an 2 ? bn 2

2 成立; 2

?? b ? 2 ? ? n ? bn (2)设 bn ?1 ? , n ? N * ,求证:数列 ?? ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ? (3)设 bn?1 ? anbn ,n ? N * ,试问 {an } 可能为等比数列吗?若可能,请求出公比的值,
若不可能,请说明理由. ( 1 ) 证 明 : 因 为 {an } 和 {bn } 各 项 均 为 正 数 , 所 以 an bn ?

an 2 ? bn 2 ,所以 2

an ?1 ?

anbn 2 。 ? 2 2 an ? bn 2 anbn bn a 2 ? bn 2 1 ,所以 ; 又 bn ?1 ? ,所以 ? n 2 2 2 an?1 anbn an ? bn an
7

( 2 ) 证 明 : 因 为 an ?1 ?

b

2 n ?1

?? b ? 2 ? ? n ? bn?12 an 2 ? bn 2 bn bn 2 bn 两式相乘可得 所以数列 ?? ? ? ? 1? 2 , ? 。 ? ? 是等差数列; an an?12 anbn an an ?? an ? ? ? ?

(3)不可能为等比数列。证明: 反证法:若 {an } 为等比数列,设其公比为 q ,由 {an } 为正项数列,易得 q ? 0 。接下来我 们按下面的情况分类讨论: ① 若 q ? 1 ,则当 n ? 1 ? log q

2 2 时,有 an ? a1q n ?1 ? ,矛盾! 2 2a1

② 若 q ? 1 ,不妨设 an ? a , (其中 a 为正常数) ,所以 bn?1 ? abn ,所以 {bn } 为等比数列。 因 为 an ?1 ?

anbn abn ,所以有 a ? , 化 简 得 abn 2 ? bn ? a3 ? 0 对 于 2 2 2 an ? bn a ? bn 2

n ? N * 成立,因此数列 {bn } 的各项只能取一个或两个不同的值,又因为 {bn } 为等比
数列,所以只能有 a ? 1 ,而此时方程 abn 2 ? bn ? a3 ? 0 变为 bn 2 ? bn ? 1 ? 0 无实根, 所以 q ? 1 。 ③ 若

0 ? q ?1







an ?1 ? an ? an 2

anbn an 2 ? bn 2 bn ?bn 2





an? 2 ?

an?1 an?12 ?

bn?1 ? bn?12

an?1 ?a
2 n ?1

q q
2

n n

b b2

? anbn ? an ?1 ? an 2 ? bn 2 qbn a 2 ? bn 2 ? ? n 联立 ? 可得 q ? ,所以 qan (q2 ? bn 2 ) ? an 2 ? bn 2 。 2 2 q ? bn anbn qbn ? an ? 2 ? 2 2 ? q ? bn ?
因为 0 ? q ? 1 ,所以当 n ? 1 ? log q

1 1 1 时,有 an ? a1qn?1 ? ,所以当 n ? 1 ? log q 时,有 2a1 2a1 2

1 1 1 ] ?1, bn ?1 ? anbn ? bn ,所以当 n ? 1 ? log q 时,数列 {bn } 为减数列。设 N ? [1 ? log q 2a1 2a1 2
M ? max{b1 , b2 ,?bN ?1,bN } ,易得 bn ? M 对于 n ? N * 成立,所以 bn?1 ? anbn ? Man 。
2 2 所 以 当 n ? 2 时 , 有 q(q ? bn ) ? an ? 2 bn 2 M an?1 2 M2 ? an ? ? (q ? )an?1 。 则 当 an an q

8

n ? 6 ? log q

M 1 3 2 2 时,有 q ? q(q ? bn ) ? (q ? )an?1 ? q3 ,矛盾。 2 2 a1 (q ? M ) q

2

综上所述, {an } 不可能为等比数列。

9



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