haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

【试卷】2010年福建省龙岩一中对新罗区录取保送生加试数学试卷

【试卷】2010年福建省龙岩一中对新罗区录取保送生加试数学试卷

2010 年福建省龙岩一中对新罗区录取保送生加试数学试卷
一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)已知函数 ,

有下列结论:①两函数图象交点的坐标为(4,4) ;②当 x>4 时,y2>y1;③当 x 逐渐增 大时,y1 随着 x 的增大而增大,y2 随着 x 的增大而减小.其中正确结论的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2. (3 分) (2009?锦州)如图所示,在△ ABC 中,AB=AC,M,N 分别是 AB,AC 的中点, D,E 为 BC 上的点,连接 DN、EM,若 AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,则图中阴影部分的 面积为( )

A.1cm B.1.5cm

2

2

C.2cm D.3cm

2

2

3. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生) 如图, 水平地面上有一面积为

的扇形 AOB,

半径 OA=3cm, 且 OA 与地面垂直. 在没有滑动的情况下, 将扇形向右滚动至与三角块 BDE 接触为止, 此时, 扇形与地面的接触点为 C, 已知∠BCD=30°, 则 O 点移动的距离为 ( )

A.3πcmB.4πcm C.

D.5πcm

4. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)一张等腰三角形纸片,底边长 13cm,底边上的高 长为 32.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 5cm 的矩形纸条,如图所示,已知剪得 的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )

A.第 3 张 B.第 4 张 C.第 5 张 D.第 6 张 5. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d) ,规定: ①(a,b)=(c,d) ,当且仅当 a=c,b=d;
第 1 页(共 20 页)

②运算“?”为: (a,b)?(c,d)=(ac+bd,bc﹣ad) ; ③运算“θ”为: (a,b)θ(c,d)=(a﹣c,b﹣d) . 设 p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(11,2) ,则(1,2)θ(p,q) ( ) A. (﹣2,﹣2) B. (3,4) C. (2,1) D. (﹣1,﹣2) 6. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平 面上任意一点 M,若 p、q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负实数对(p,q) 是点 M 的“距离坐标”.根据上述定义,有以下几个结论: ①“距离坐标”是(0,1)的点有 1 个; ②“距离坐标”是(5,6)的点有 4 个; ③“距离坐标”是(a,a) (a 为非负实数)的点有 4 个. 其中正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 7. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)父亲每天都爱带报纸去上班,父亲离开家的时间记 为 x,送报人来的时间记为 y,若 7:00≤x≤8:00,7:30≤y≤8:30,则父亲能拿到报纸上班 的概率为( ) A. B. C. D.

8. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)现有 1、2、3、4、5 共五个数,从中取若干个数分 给 A、 B 两组, 两组都不能放空, 要使得 B 组中最小的数比 A 组中最大的数都大, 则有 ( ) 种分配方法. A.44 B.49 C.51 D.32 二、填空题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 9. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)若 x,y 为实数,且 则 = . ,

10. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)如果 x+ =2,则 11. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)满足 2
2x+1

= +4=0 的 x 的值为

. .

﹣3?2

x+1

12. (4 分) (2015?黄冈中学自主招生)若关于 x 的方程

的解为正数,则 a 的取

值范围是 . 13. (4 分) (2015?黄冈中学自主招生)有一组数满足 a1=1,a2=2,a3﹣a1=0,a4﹣a2=2,a5 ﹣a3=0,a6﹣a4=2,…,按此规律进行下去,则 a1+a2+a3+…+a100= .

第 2 页(共 20 页)

14. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)五个学生每人写了一张贺卡,交给老师,老师将 这五张贺卡随机分给这五个学生, 若大家拿到的贺卡都不是自己写的, 则有 种 不同的分法. 2 15. (4 分) (2015?黄冈中学自主招生)二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上有最小值﹣4,则 a 的值为 . 16. (4 分) (2012?余姚市校级自主招生)三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 2,3 与 4, 5 与 6,把这三张卡片拼在一起表示一个三位数,则这个三位数是偶数的概率是 . 三、解答题(共 6 小题,满分 64 分) 17. (8 分) (2009?仙桃)先化简,再求值: ,其中 x=2﹣ .

18. (8 分) (2010?新罗区校级自主招生)某商场将进价为 2600 元的彩电以 3000 元售出, 平均每天能销售出 6 台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措 施.调查表明:这种彩电的售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 3 台. (1)商场要想在这种彩电销售中每天盈利 3600 元,同时又要使百姓得到最大实惠,每台彩 电应降价多少元? (2)每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高?最高利润是多少? 19. (10 分) (2010?新罗区校级自主招生)根据有理数的除法符号法则“两数相除,同号得 正,异号得负”,求不等式 的解集.
2 2

20. (12 分) (2010?新罗区校级自主招生)已知二次函数 y=x ﹣2mx+m ﹣4 的图象与 x 轴 交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,且与 y 轴交于点 D. (1)当点 D 在 y 轴正半轴时,是否存在实数 m,使得△ BOD 为等腰三角形?若存在,求 出 m 的值;若不存在,请说明理由; 2 2 (2)当 m=﹣1 时,将函数 y=x ﹣2mx+m ﹣4 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象 的其余部分保持不变,得到一个新的图象 Ω.当直线 与图象 Ω 有两个公共点时,求

实数 b 的取值范围. 21. (12 分) (2010?新罗区校级自主招生)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平 分线 BD 交 AC 于点 D,DE⊥DB 交 AB 于点 E,设⊙O 是△ BDE 的外接圆. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若 DE=2,BD=4,求 AE 的长.

第 3 页(共 20 页)

22. (14 分) (2010?新罗区校级自主招生)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ OAB 的顶 点 A 的坐标为(10,0) ,顶点 B 在第一象限内,且 ,sin∠OAB= ,

(1)若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点,求经过 O,C,A 三点的抛物线的函数表达式; (2)在(1)中的抛物线上是否存在一点 P,使以 P,O,C,A 为顶点的四边形为梯形?若 存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将点 O,点 A 分别变换为点 Q(﹣2k,0) ,点 R(5k,0) (k>1 的常数) ,设过 Q, R 两点, 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N, 其顶点为 M, 记△ QNM 的面积为 S△ QNM,△ QNR 的面积为 S△ QNR,求 S△ QNM:S△ QNR 的值.

第 4 页(共 20 页)

2010 年福建省龙岩一中对新罗区录取保送生加试数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 1. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)已知函数 ,

有下列结论:①两函数图象交点的坐标为(4,4) ;②当 x>4 时,y2>y1;③当 x 逐渐增 大时,y1 随着 x 的增大而增大,y2 随着 x 的增大而减小.其中正确结论的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【解答】解:把(4,4)代入 y1=x 得:左边=右边, 把(4,4)代入 y2= ∴①正确; >x, ∵x>0, ∴x<﹣4 或 0<x<4, ∴②错误; 根据反比例函数的性质和正比例函数的性质得到当 x 逐渐增大时,y1 随着 x 的增大而增大, y2 随着 x 的增大而减小, ∴③正确; 正确结论的个数是 2 个. 故选 C. 2. (3 分) (2009?锦州)如图所示,在△ ABC 中,AB=AC,M,N 分别是 AB,AC 的中点, D,E 为 BC 上的点,连接 DN、EM,若 AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,则图中阴影部分的 面积为( ) 得:左边=右边,

A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm 【解答】解:连接 MN,作 AF⊥BC 于 F. ∵AB=AC, ∴BF=CF= BC= ×8=4, 在 Rt△ ABF 中,AF= = ,

2

2

2

2

∵M、N 分别是 AB,AC 的中点,
第 5 页(共 20 页)

∴MN 是中位线,即平分三角形的高且 MN=8÷2=4, ∴NM= BC=DE, ∴△MNO≌△EDO,O 也是 ME,ND 的中点, ∴阴影三角形的高是 AF÷2=1.5÷2=0.75, ∴S 阴影=4×0.75÷2=1.5.故选 B.

3. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生) 如图, 水平地面上有一面积为

的扇形 AOB,

半径 OA=3cm, 且 OA 与地面垂直. 在没有滑动的情况下, 将扇形向右滚动至与三角块 BDE 接触为止, 此时, 扇形与地面的接触点为 C, 已知∠BCD=30°, 则 O 点移动的距离为 ( )

A.3πcmB.4πcm C.

D.5πcm ,

【解答】解:∵扇形 AOB 的面积为 ∴圆心角= 连接 OC、BC, ∵∠BCD=30°, ∴∠BOC=60°, ∴优弧 AC= 故选 B. =4πcm. =300°,

4. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)一张等腰三角形纸片,底边长 13cm,底边上的高 长为 32.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 5cm 的矩形纸条,如图所示,已知剪得 的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )

第 6 页(共 20 页)

A.第 3 张 B.第 4 张 C.第 5 张 D.第 6 张 【解答】解:设这张正方形纸条是第 n 张. ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴ = = ,

解得:n=4. 故选 B.

5. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d) ,规定: ①(a,b)=(c,d) ,当且仅当 a=c,b=d; ②运算“?”为: (a,b)?(c,d)=(ac+bd,bc﹣ad) ; ③运算“θ”为: (a,b)θ(c,d)=(a﹣c,b﹣d) . 设 p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(11,2) ,则(1,2)θ(p,q) ( ) A. (﹣2,﹣2) B. (3,4) C. (2,1) D. (﹣1,﹣2) 【解答】解:由规定②,得 (1,2)?(p,q)=(p+2q,2p﹣q) , ∵(1,2)?(p,q)=(11,2) , ∴(p+2q,2p﹣q)=(11,2) , 由规定①,得 由规定③,可知 (1,2)θ(p,q) =(1,2)θ(3,4) =(1﹣3,2﹣4) =(﹣2,﹣2) . 故选 A. ,解得 ,

第 7 页(共 20 页)

6. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平 面上任意一点 M,若 p、q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负实数对(p,q) 是点 M 的“距离坐标”.根据上述定义,有以下几个结论: ①“距离坐标”是(0,1)的点有 1 个; ②“距离坐标”是(5,6)的点有 4 个; ③“距离坐标”是(a,a) (a 为非负实数)的点有 4 个. 其中正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【解答】解:如上图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M, 若 p、q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负数实数对(p、q)是点 M 的“距离坐 标”. 已知常数 p≥0,q≥0,给出下列两个个结论: ①若 pq≠0,则“距离坐标”为(p、q)的点有且仅有 4 个. ②若 pq=0,且 p+q≠0; 1)p=0,q=1,则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有 2 个;故此选项①“距离坐标”是(0, 1)的点有 1 个错误, 2)得出(5,6)是与 l1 距离是 5 的点是与之平行的两条直线 与 l2 的距离是 6 的也是与之 平行的两条直线,这四条直线共有 4 个交点.所以此选项正确, 3)易知若 a=0,坐标点在 l1 与 l2 的交点上,所以只有 1 个这样的点,故此选项错误; 故正确的有:1 个, 故选 B. 7. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)父亲每天都爱带报纸去上班,父亲离开家的时间记 为 x,送报人来的时间记为 y,若 7:00≤x≤8:00,7:30≤y≤8:30,则父亲能拿到报纸上班 的概率为( ) A. B. C. D.

【解答】解:∵爸爸拿报纸的时间段是在 7:00﹣8:00 之间,邮递员叔叔在 7:30﹣8:30 之间把报纸送到邮箱, ∴爸爸要拿到报纸的话,必须是在 7:30﹣8:00 才有可能,爸爸在这个时间段的可能性性 为 ,邮递员的可能性为 ,

∴爸爸上班回家打开邮箱拿到报纸的概率 . 故选 A.

第 8 页(共 20 页)

8. (3 分) (2010?新罗区校级自主招生)现有 1、2、3、4、5 共五个数,从中取若干个数分 给 A、 B 两组, 两组都不能放空, 要使得 B 组中最小的数比 A 组中最大的数都大, 则有 ( ) 种分配方法. A.44 B.49 C.51 D.32 【解答】解:∵①若 A 中最大为 1,则 A 有 1 种, B 可以 1 个数,则有 4 种, B 可以 2 个数,则有 6 种, B 可以 3 个数,则有 4 种, B 可以 4 个数,则有 1 种, 此时共有 1×(4+6+4+1)=15(种) ; ②若 A 最大为 2,则 A 有 2 种, B 可以 1 个数,则有 3 种, B 可以 2 个数,则有 3 种, B 可以 3 个数,则有 1 种, 此时共有 2×(3+3+1)=14(种) ; ③若 A 中最大为 3, 若 A 中有 1 个数,则 A 有 1 种, 若 A 中有 2 个数,则 A 有 2 种, 若 A 中有 3 个数,则 A 有 1 种, 则 B 可以 1 个数,则有 2 种, B 可以 2 个数,则有 1 种, 此时共有(1+2+1)×(2+1)=12(种) ; ④若 A 最大是 4,则 B 有 1 种, 若 A 中有 1 个数,则 A 有 1 种, 若 A 中有 2 个数,则 A 有 3 种, 若 A 中有 3 个数,则 A 有 3 种, 若 A 中有 4 个数,则 A 有 1 种, 此时共有(1+3+3+1)×1=8(种) ; ∴总共为 15+14+12+8=49(种) . 故选 B. 二、填空题(共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 9. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)若 x,y 为实数,且 则 = ±1 . , =0 ,

【解答】解:∵ ∴|x|﹣tan60°=0 且 y+ 解得:|x|= ,y=﹣ ∴x= 或﹣ . 当 x= ,y=﹣

时,则

=(﹣1)

2011

=﹣1;

第 9 页(共 20 页)

当 x=﹣

,y=﹣

时,则

=1

2011

=1.

故答案是:±1.

10. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)如果 x+ =2,则 【解答】解:∵(x+ ) =x +2+ ∴x + ∴
2 2 2

=



=4,

=2, = = .

故本题答案为: .

11. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)满足 2 2x+1 x+1 【解答】解:由方程 2 ﹣3?2 +4=0,得 2x x 2×2 ﹣6?2 +4=0; x 2 2 设 2 =t,则 2t ﹣6t+4=0,即 t ﹣3t+2=0, ∴(t﹣1) (t﹣2)=0, 解得,t=1 或 t=2; x ①当 t=1 时,2 =1, 解得,x=0; ②当 t=2 时,2 =2, 解得,x=1. 故答案为:1 或 0.
x

2x+1

﹣3?2

x+1

+4=0 的 x 的值为 1 或 0 .

12. (4 分) (2015?黄冈中学自主招生)若关于 x 的方程 值范围是 a<1 且 a≠﹣1 . 【解答】解:解方程 ∵关于 x 的方程 ∴x>0, 即 >0, ,得 x= 的解为正数, ,

的解为正数,则 a 的取

当 x﹣1=0 时,x=1,代入得:a=﹣1.此为增根, ∴a≠﹣1, 解得:a<1 且 a≠﹣1. 故答案为:a<1 且 a≠﹣1.

第 10 页(共 20 页)

13. (4 分) (2015?黄冈中学自主招生)有一组数满足 a1=1,a2=2,a3﹣a1=0,a4﹣a2=2,a5 ﹣a3=0,a6﹣a4=2,…,按此规律进行下去,则 a1+a2+a3+…+a100= 2600 . 【解答】解:由已知,得 a1=1,a2=2,a3=1,a4=4,a5=1,a6=6…,a100=100, 则 a1+a2+a3+…+a100=1+2+1+4+1+6+…+1+100 =1×50+ =2600. 故答案为:2600. 14. (4 分) (2010?新罗区校级自主招生)五个学生每人写了一张贺卡,交给老师,老师将 这五张贺卡随机分给这五个学生, 若大家拿到的贺卡都不是自己写的, 则有 44 种不同的 分法. 【解答】解:将五个学生及所写贺卡依次编号为①②③④⑤. 第一个学生分得②,其余学生拿到的贺卡都不是自己写的有:②①④⑤③; ②①⑤③④;②③①⑤④;②③④⑤①;②③⑤①④;②④①⑤③; ②④⑤①③;②④⑤③①;②⑤①③④;②⑤④①③;②⑤④③①计 11 种; 同理第一个学生分得③,分得④,分得⑤的都有 11 种, 则有 11×4=44 种不同的分法. 故答案为:44. 15. (4 分) (2015?黄冈中学自主招生)二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上有最小值﹣4,则 a 的值为 5 或 .
2

【解答】解:分三种情况: 2 当﹣a<﹣1 即 a>1 时,二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上为增函数, 2 所以当 x=﹣1 时,y 有最小值为﹣4,把(﹣1,﹣4)代入 y=x +2ax+a 中解得:a=5; 2 当﹣a>2 即 a<﹣2 时,二次函数 y=x +2ax+a 在﹣1≤x≤2 上为减函数, 所以当 x=2 时,y 有最小值为﹣4,把(2,﹣4)代入 y=x +2ax+a 中解得:a=﹣ >﹣2,舍 去; 当﹣1≤﹣a≤2 即﹣2≤a≤1 时,此时抛物线的顶点为最低点, 所以顶点的纵坐标为 =﹣4,解得:a= 或 a= >1,舍去.
2

综上,a 的值为 5 或 故答案为:5 或



第 11 页(共 20 页)

16. (4 分) (2012?余姚市校级自主招生)三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 2,3 与 4, 5 与 6,把这三张卡片拼在一起表示一个三位数,则这个三位数是偶数的概率是 . 【解答】解:这三张卡片拼在一起组成一个三位数共有 5×4×2=40 个; 最后一位是 0 或 2 或 4 或 6 的数共有 28 个. 故这个三位数是偶数的概率是 故答案为: . = .

三、解答题(共 6 小题,满分 64 分) 17. (8 分) (2009?仙桃)先化简,再求值: ,其中 x=2﹣ .

【解答】解:原式=

= = ; 时, =﹣ .

当 x=2﹣ 原式=

18. (8 分) (2010?新罗区校级自主招生)某商场将进价为 2600 元的彩电以 3000 元售出, 平均每天能销售出 6 台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措 施.调查表明:这种彩电的售价每降低 50 元,平均每天就能多售出 3 台. (1)商场要想在这种彩电销售中每天盈利 3600 元,同时又要使百姓得到最大实惠,每台彩 电应降价多少元? (2)每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高?最高利润是多少? 【解答】解:设每台彩电降价 x 元(0<x<400) ,商场销售这种彩电平均每天的利润为 y 元, 则有 y=(3000﹣2600﹣x) (6+3? )=﹣ (x ﹣300x﹣40000) ; (x ﹣300x﹣40000)=3600,
2 2

(1)∵要每天盈利 3600 元,则 y=3600,即﹣
2

∴x ﹣300x+20000=0, 解得 x=100 或 x=200, 又∵要使百姓得到最大实惠,则每台要降价 200 元; (2)∵y=﹣ (x ﹣300x﹣40000)
2

第 12 页(共 20 页)

=﹣ =﹣

(x ﹣300x﹣40000) (x﹣150) +3750
2

2

∴当 x=150 时,y 取得最大值为 3750, ∴每台彩电降价 150 元时,商场的利润最高为 3750 元. 19. (10 分) (2010?新罗区校级自主招生)根据有理数的除法符号法则“两数相除,同号得 正,异号得负”,求不等式 的解集.

【解答】解:依题意得









解得第一个不等式组中的②得:x> 或 x<﹣ ,与①取公共解集得:x> ; 解得第二个不等式组中的②得:﹣ <x< ,与①取公共解集得:﹣ <x<﹣ , 所以原不等式的解集为: 或 .

20. (12 分) (2010?新罗区校级自主招生)已知二次函数 y=x ﹣2mx+m ﹣4 的图象与 x 轴 交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,且与 y 轴交于点 D. (1)当点 D 在 y 轴正半轴时,是否存在实数 m,使得△ BOD 为等腰三角形?若存在,求 出 m 的值;若不存在,请说明理由; 2 2 (2)当 m=﹣1 时,将函数 y=x ﹣2mx+m ﹣4 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象 的其余部分保持不变,得到一个新的图象 Ω.当直线 与图象 Ω 有两个公共点时,求

2

2

实数 b 的取值范围. 2 2 【解答】解:令 y=0 得 x ﹣2mx+m ﹣4=0,解得 x1=m﹣2,x2=m+2, 2 ∴A(m﹣2,0) ,B(m+2,0) ,D(0,m ﹣4) , (1)∵点 D 在 y 轴正半轴, ∴m ﹣4>0,设存在实数 m,使得△ BOD 为等腰三角形,则 BO=OD, 2 即|m+2|=m ﹣4, 2 ①当 m+2>0 时,m ﹣4=m+2,解得 m=3 或 m=﹣2(舍去) ; 2 ②当 m+2<0 时,m ﹣4+m+2=0,解得 m=1 或 m=﹣2(都舍去) ; ③当 m+2=0 时,点 O、B、D 重合,不合题意,舍去; 综上所述,m=3. (2)当 m=﹣1 时,y=x +2x﹣3,则 A(﹣3,0) ,B(1,0)顶点为(﹣1,﹣4)
2 2

第 13 页(共 20 页)

因为直线 则当直线 当直线 当直线

与图象 Ω 有两个公共点, 过 A 点时 , , ,

过 B(1,0)时,
2

与 y=﹣x ﹣2x+3 只有一个公共点时, .

根据图象,可得﹣ <b< 或 b>

21. (12 分) (2010?新罗区校级自主招生)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平 分线 BD 交 AC 于点 D,DE⊥DB 交 AB 于点 E,设⊙O 是△ BDE 的外接圆. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若 DE=2,BD=4,求 AE 的长.

【解答】 (1)证明:连接 OD, ∵DE⊥DB,⊙O 是△ BDE 的外接圆, ∴BE 是直径,点 O 是 BE 的中点, ∵∠C=90°, ∴∠DBC+∠BDC=90°, 又 BD 为∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠DBC, ∵OB=OD, ∴∠ABD=∠ODB, 则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90° 又∵OD 是⊙O 的半径,
第 14 页(共 20 页)

∴AC 是⊙O 的切线. (方法不唯一,参照给分) (2)解:∵DE⊥DB,DE=2,BD=4, ∴ , ∴∠ABD=∠ADE,又∠A 为公共角, ∴△ADB∽△AED,则有 ,

∴AD=2AE, 2 2 2 在 Rt△ AOD 中,AO =OD +AD , 2 2 2 即( +AE) =( ) +(2AE) , 解得 AE= 所以 AE= 或 AE=0(舍去) , .

22. (14 分) (2010?新罗区校级自主招生)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ OAB 的顶 点 A 的坐标为(10,0) ,顶点 B 在第一象限内,且 ,sin∠OAB= ,

(1)若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点,求经过 O,C,A 三点的抛物线的函数表达式; (2)在(1)中的抛物线上是否存在一点 P,使以 P,O,C,A 为顶点的四边形为梯形?若 存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将点 O,点 A 分别变换为点 Q(﹣2k,0) ,点 R(5k,0) (k>1 的常数) ,设过 Q, R 两点, 且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N, 其顶点为 M, 记△ QNM 的面积为 S△ QNM,△ QNR 的面积为 S△ QNR,求 S△ QNM:S△ QNR 的值.

【解答】解: (1)如图, 过点 B 作 BD⊥OA 于点 D. 在 Rt△ ABD 中, ∵AB=3 ,sin∠OAB= ,

第 15 页(共 20 页)

∴BD=AB?sin∠OAB=3 又由勾股定理, 得 AD= =

×

=3.

=6.

∴OD=OA﹣AD=4. ∵点 B 在第一象限内, ∴点 B 的坐标为(4,3) . ∴点 B 关于 x 轴对称的点 C 的坐标为(4,﹣3) . 2 设经过 O(0,0) ,C(4,﹣3) ,A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 y=ax +bx(a≠0) .





∴经过 O,C,A 三点的抛物线的函数表达式为 y= x ﹣ x.

2

(2)假设在(1)中的抛物线上存在点 P,使以 P,O,C,A 为顶点的四边形为梯形. ①∵点 C(4,﹣3)不是抛物线 y= x ﹣ x 的顶点, ∴过点 C 作直线 OA 的平行线与抛物线交于点 P1. 则直线 CP1 的函数表达式为 y=﹣3. 对于 y= x ﹣ x,令 y=﹣3,则 x=4 或 x=6.
2 2







而点 C(4,﹣3) , ∴P1(6,﹣3) . 在四边形 P1AOC 中,CP1∥OA,显然 CP1≠OA. ∴点 P1(6,﹣3)是符合要求的点. ②若 AP2∥CO.设直线 CO 的函数表达式为 y=k1x. 将点 C(4,﹣3)代入, 得 4k1=﹣3. ∴k1=﹣ . ∴直线 CO 的函数表达式为 y=﹣ x. 于是可设直线 AP2 的函数表达式为 y=﹣ x+b1. 将点 A(10,0)代入, 得﹣ ×10+b1=0.

第 16 页(共 20 页)

∴b1=

. .

∴直线 AP2 的函数表达式为 y=﹣ x+





即(x﹣10) (x+6)=0. ∴ , .

而点 A(10,0) , ∴P2(﹣6,12) . 过点 P2 作 P2E⊥x 轴于点 E,则 P2E=12. 在 Rt△ AP2E 中,由勾股定理, 得 AP2= = =20.

而 CO=OB=5. ∴在四边形 P2OCA 中,AP2∥CO,但 AP2≠CO. ∴点 P2(﹣6,12)是符合要求的点. ③若 OP3∥CA.设直线 CA 的函数表达式为 y=k2x+b2. 将点 A(10,0) ,C(4,﹣3)代入,





∴直线 CA 的函数表达式为 y= x﹣5. ∴直线 OP3 的函数表达式为 y= x.





即 x(x﹣14)=0. ∴ , .

而点 O(0,0) , ∴P3(14,7) . 过点 P3 作 P3F⊥x 轴于点 F,则|P3F|=7. 在 Rt△ OP3F 中,由勾股定理, 得 OP3= = =7 .

第 17 页(共 20 页)

而 CA=AB=3 . ∴在四边形 P3OCA 中,OP3∥CA,但|OP3|≠|CA|. ∴点 P3(14,7)是符合要求的点. 综上可知,在(1)中的抛物线上存在点 P1(6,﹣3) ,P2(﹣6,12) ,P3(14,7) , 使以 P,O,C,A 为顶点的四边形为梯形. (3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下. ①当抛物线开口向上时,则此抛物线与 y 轴的负半轴交于点 N. 可设抛物线的函数表达式为 y=a(x+2k) (x﹣5k) (a>0) . 即 y=ax ﹣3akx﹣10ak =a(x﹣ k) ﹣ 如图,过点 M 作 MG⊥x 轴于点 G. ∵Q(﹣2k,0) ,R(5k,0) ,G( k,0) ,N(0,﹣10ak ) ,M( k,﹣ ∴QO=2k,QR=7k,OG= k,QG= k,ON=10ak ,MG= ∴S△ QNR= QR?ON= ×7k×10ak =35ak . S△ QNM=S△ QNO+S 梯形 ONMG﹣S△ QMG= ?QO?O|+ (ON+GM)?OG﹣ ?QG?GM= ×2k×10ak + ×(10ak +
2 2 2 3 2 2 2 2 2

ak .

2

ak ) ,

2

ak .

2

ak )× k﹣ × k×

2

ak =

2

ak .

3

∴S△ QNM:S△ QNR=3:20. ②当抛物线开口向下时,则此抛物线与 y 轴的正半轴交于点 N. 同理,可得 S△ QNM:S△ QNR=3:20. 综上可知,S△ QNM:S△ QNR 的值为 3:20.

第 18 页(共 20 页)

第 19 页(共 20 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:zjx111;zxw;算术;bjy;zhjh;zhangCF;gbl210;冯延 鹏;zcx;郝老师;蓝月梦;nhx600;HJJ;sks;zhxl;lanchong;lf2-9;ZJX;Liuzhx;自由 人;MMCH(排名不分先后) 菁优网 2016 年 6 月 9 日

第 20 页(共 20 页)


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com