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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第四章第1课时课后达标检测

2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第四章第1课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λa=0(λ 为实数),则 λ 必为零; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数, 故可以比较大小. ③错误,当 a=0 时,不论 λ 为何值,λa=0. ④错误,当 λ=μ=0 时,λa=μb=0,此时,a 与 b 可以是任意向量.故选 C. → → → → 2. (2014· 武汉市答题适应性训练)已知OA=a, OB=b, OC=c, OD=d, 且四边形 ABCD 为平行四边形,则( ) A.a-b+c-d=0 B.a-b-c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0 → → → → → → → → → 解析:选 A.依题意得,AB=DC,故AB+CD=0,即OB-OA+OD-OC=0,即有OA- → → → OB+OC-OD=0,则 a-b+c-d=0,故选 A. 3.(2014· 贵州贵阳检测考试)已知向量 a、b、c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线, 且 b+c 与 a 共线,则向量 a+b+c=( ) A.a B.b C.c D.0 解析:选 D.依题意,设 a+b=mc,b+c=n a,则有(a+b)-(b+c)=mc-n a,即 a-c =mc-n a.又 a 与 c 不共线,于是有 m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0,故选 D. → → → → 4.(2014· 山东师大附中模拟)已知平面内一点 P 及△ABC,若PA+PB+PC=AB,则点 P 与△ABC 的位置关系是( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 BC 上 C.点 P 在线段 AC 上 D.点 P 在△ABC 外部 → → → → → → → → → → → → → 解析:选 C.由PA+PB+PC=AB得PA+PC=AB-PB=AP,即PC=AP-PA=2AP,所 以点 P 在线段 AC 上,故选 C. → 4→ → → → → 5. (2014· 四川广元模拟)如图,已知AP= AB,用OA,OB表示OP,则OP等于( ) 3

1→ 4→ A. OA- OB 3 3 1→ 4→ B. OA+ OB 3 3

1→ 4→ C.- OA+ OB 3 3 1→ 4→ D.- OA- OB 3 3 1→ 4→ → → → → 4→ → 4 → → 解析:选 C.OP=OA+AP=OA+ AB=OA+ (OB-OA)=- OA+ OB,故选 C. 3 3 3 3 二、填空题 → → 6.(2013· 高考四川卷)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD= → λAO,则 λ=________. → → → 解析:由向量加法的平行四边形法则,得AB+AD=AC. → → 又 O 是 AC 的中点,∴AC=2AO,∴AC=2AO, → → → ∴AB+AD=2AO. → → → 又AB+AD=λAO,∴λ=2. 答案:2 → → → → → 7.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3 NC,M 为 BC 的中点,则MN=________(用 a、b 表示). 1 1 → → → → → → 3 解析:由AN=3 NC,得 4 A N =3 AC=3(a+b),AM=a+ b,∴MN= (a+b)-(a+ 2 4 2 1 1 b)=- a+ b. 4 4 1 1 答案:- a+ b 4 4 → → → 8.(2014· 广东江门质检)设 a,b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a -2b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值是________. → → → 解析:∵BD=BC+CD=2a-b, 又 A、B、D 三点共线, → → ∴存在实数 λ,使AB=λBD, ? ?2=2λ, 即? ∴p=-1. ?p=-λ, ? 答案:-1 三、解答题 → → 9.设 i、j 分别是平面直角坐标系 Ox、Oy 正方向上的单位向量,且OA=-2i+mj,OB → =ni+j,OC=5i-j,若点 A、B、C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m、n 的值. → → → 解:AB=OB-OA=(n+2)i+(1-m)j, → → → BC=OC-OB=(5-n)i+(-2)j. → → ∵点 A、B、C 在同一条直线上,∴AB∥BC, → → 即AB=λBC, ∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i+(-2)j], n+2=λ?5-n? ? ? ∴?1-m=-2λ ? ?m=2n m=3 ? ?m=6 ? ? ,解得? 或? 3 ? ?n=3 ? ?n=2 .

10. 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE, → → → → 设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG.

→ 1 → → 1 1 解:AD= (AB+AC)= a+ b. 2 2 2 → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BA+BC) 3 3 2→ 1 → → = AB+ (AC-AB) 3 3 1→ 1 → = AB+ AC 3 3 1 1 = a+ b. 3 3 [能力提升] 一、选择题 → → → → 1.设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且DC=2BD,CE=2EA, → → → → → → AF=2FB,则AD+BE+CF与BC( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 → → → → 1→ 解析:选 A.由题意得AD=AB+BD=AB+ BC, 3 → → → → 1→ BE=BA+AE=BA+ AC, 3 → → → → 1→ CF=CB+BF=CB+ BA, 3 → → → → 1 → → → 因此AD+BE+CF=CB+ (BC+AC-AB) 3 1→ → 2→ =CB+ BC=- BC, 3 3 → → → → 故AD+BE+CF与BC反向平行. 2.(2013· 高考广东卷)设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四个命 题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ,使 a=λb+μ c; ③给定单位向量 b 和正数 μ,总存在单位向量 c 和实数 λ,使 a=λb+μ c; ④给定正数 λ 和 μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λb+μ c. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.对于①,因为 a 与 b 给定,所以 a-b 一定存在,可表示为 c,即 c=a-b, 故 a=b+c 成立,①正确;对于②,因为 b 与 c 不共线,由平面向量基本定理可知②正确; 对于③,以 a 的终点作长度为 μ 的圆,这个圆必须和向量 λb 有交点,这个不一定满足,故 ③错误; 对于④, 利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边, 即必有|λb| +|μ c|=λ+μ≥|a|,故④错,因此正确的有 2 个,故选 B. 二、填空题 → → → 3.设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△AOB 与△AOC 的面积之比为 ________. → → → → → → 解析:设 D 为 AC 的中点,连接 OD(图略),则OA+OC=2OD.又OA+OC=-2OB,所

1 → → 以OD=-OB,即 O 为 BD 的中点,从而容易得△AOB 与△AOC 的面积之比为 . 2 1 答案: 2 → → 4.已知 D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且BC=a,CA=b,给出下 1 1 1 → 1 → → → → → 列命题:①AD= a-b;②BE=a+ b;③CF=- a+ b;④AD+BE+CF=0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 1 → → → 1→ → 解析:BC=a,CA=b,AD= CB+AC=- a-b, 2 2 1 1 → → → BE=BC+ CA=a+ b, 2 2 → 1 → → 1 CF= (CB+CA)= (-a+b) 2 2 1 1 =- a+ b, 2 2 1 1 1 1 → → → ∴AD+BE+CF=-b- a+a+ b+ b- a=0.∴正确命题为②③④. 2 2 2 2 答案:3 三、解答题 → → → 5.已知 O,A,B 是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明:(1)若 m+n=1, → → → → → → 则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB), → → → → ∴OP-OB=m(OA-OB), → → → → 即BP=mBA,∴BP与BA共线. → → 又∵BP与BA有公共点 B,∴A,P,B 三点共线. → → (2)若 A,P,B 三点共线,则BP与BA共线, → → 故存在实数 λ,使BP=λBA, → → → → ∴OP-OB=λ(OA-OB). → → → 又OP=mOA+nOB, → → → → 故有 mOA+(n-1)OB=λOA-λOB, → → 即(m-λ)OA+(n+λ-1)OB=0. → → ∵O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线, ?m-λ=0, ? ∴? ∴m+n=1. ? ?n+λ-1=0, → 2→ → 6. (选做题)如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点,AE= AD,AB=a, 3 → AC=b.

→ → → → → (1)用 a,b 表示向量AD,AE,AF,BE,BF; (2)求证:B,E,F 三点共线.

解:(1)延长 AD 到 G, → 1→ 使AD= AG, 2 连接 BG,CG,得到?ABGC, → 所以AG=a+b, → 1→ 1 AD= AG= (a+b), 2 2 2 1 → → AE= AD= (a+b), 3 3 → 1→ 1 AF= AC= b, 2 2 1 → → → 1 BE=AE-AB= (a+b)-a= (b-2a), 3 3 1 → → → 1 BF=AF-AB= b-a= (b-2a). 2 2 → 2→ (2)证明:由(1)可知BE= BF. 3 → → 又因为BE,BF有公共点 B, 所以 B,E,F 三点共线.



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