haihongyuan.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

人教版高中数学选修第三讲-柯西不等式与排序不等式-章末复习方案ppt课件

人教版高中数学选修第三讲-柯西不等式与排序不等式-章末复习方案ppt课件


a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是: = =…=b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时,规定相应的 ai 为零. (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组. (3) 可以利用向量中的 |α||β|≥|α· β| 的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义. [例 1] 若 n 是不小于 2 的正整数,求证: 4 1 1 1 1 1 2 <1- + - +…+ - < . 7 2 3 4 2 2n-1 2n 1 1 1 1 1 [证明] 1- + - +…+ - 2 3 4 2n-1 2n = ? 1 1 1? ?1+ + +…+ ? 2 3 2n? ? -2 ?1 1 1? ? + +…+ ? 4 2n? ?2 1 = + n+ 1 1 1 +…+ , 2n n+ 2 所以求证式等价于 4 1 1 1 2 < + +…+ < . 7 n+ 1 n + 2 2n 2 由柯西不等式,有 ? 1 1 1? ? ? 2 + + … + [( n + 1) + ( n + 2) + … + 2 n ] ≥ n , ?n+1 2n? n+ 2 ? ? 1 1 1 n2 于是 + +…+ ≥ 2n n+ 1 n+ 2 ?n+1?+?n+2?+…+2n 2n = = 3n + 1 4 ≥ = , 1 1 7 3+n 3+ 2 2 2 又由柯西不等式,有 1 1 1 + +…+ < 2n n+ 1 n+ 2 1 1 1 ? ?1 +1 +…+1 ???n+1?2+?n+2?2+…+?2n?2? ? < ? ? 2 2 2 ? ? ?1 1? n?n-2n?= ? ? 2 . 2 [例 2] 设 a,b,c,d 为不全相等的正数. 1 1 1 1 求 证 : + + + a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b 16 > . 3?a+b+c+d? [证明] 记 s=a+b+c+d,则原不等式等价于 s s s s 16 + + + > . s- d s- a s- b s- c 3 构造两组数 1 1 1 s-d, s-a, s-b, s-c; , , , s- d s- a s- b 1 ,由柯西不等式得 s- c [( s- d ) + ( 2 s- a ) + ( 2 s- b ) + ( 2 s-c ) ]· [ ? 2 1 2+ s-d? 1 2+ ? s-a? ? 1 1 2+ 2] s-b? ? s-c? ≥(1+1+1+1)2. 1 1 1 1 即[4s-(a+b+c+d)]· ( + + + )≥16, s- d s- a s- b s- c s s s s 16 于是 + + + ≥ , 3 s- d s - a s - b s - c 等号成立?s-d=s-a=s-b=s-c?a=b=c=d. 因题设 a,b,c,d 不全相等,故取不到等号, 1 1 1 1 16 即 + + + > . a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b 3?a+b+c+d? 利用不等式解决最值,尤其是含多个变量的问题,是一种常用方法.特别 是条件最值问题,通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不 等式等,但要注意取等号的条件能否满足. [例 3] 4 u 已知正实数 u,v,w 满足 u2+v2+w2=8,求 9 v4 w4 + + 的最小值. 16 25 [解] ∵u2+v2+w2=8. 2 2 2 v w u


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com