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韶关学院第七届参考答案

韶关学院第七届参考答案


第七届数模竞赛题参考答案
一、鱼缸边长
设鱼缸的长、宽、高分别为 a 、 b 、 c .
max V = abc



s.t. a + b + c ≤ 150 ,
a , b, c > 0

由 a + b + c ≥ 3 abc ,得

abc ≤

a+b+c ≤ 50 . 3

当且仅当 a = b = c 时, abc 取最大值,即鱼缸体积最大,此时鱼缸为正 方体. 则有:3( x + y ) ≤ 240 , x, y > 0 且 现设两种正方体鱼缸的边长分别为 x 、y , 故 ( x + y ) max =80,此时两个鱼缸的体积之和为:
V1,2 = x 3 + y 3 = x 3 + (80 ? x) 3 = 240 x 2 - 19200 x + 512000

又由 0 ≤ x, y ≤ 50
30 ≤ x, y ≤ 50



x + y = 80 ,得

f ( x) = 240 x 2 - 19200 x + 512000

函数 f (x) 在 [30,50] 上的最大值为 f (30) = f (50) = 152000 故这两种鱼缸的边长分别为 30 厘米和 50 厘米时,两种鱼缸的总体积最大.

二、客轮速度 客轮速度
设客轮速度为每小时 v 千米,每小时耗油费用为 y ,上海到重庆路程为 s ,从 上海至重庆的总耗油费用为 Q ,则依题意有 y = kv 3 ( k 为比例系数). 客轮从上海到重庆耗时为 t =
s ,从而得到耗油费用的数学模型为 v?c v3 v?c

Q (v) = yt = ks

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问题就转化为确定 v 使 Q (v) 取最小值.现求导数 令

dQ(v) 2v 3 ? 3cv 2 = ks , dv (v ? c ) 2

dQ(v) 3 = 0 ,得到驻点 v1 = v 2 = 0 (不合理,舍去)及 v3 = c dv 2 3 于是客轮的速度为 v = c 时,耗油费用最少. 2

三、容器温度
设 t 时刻温度计的读数为 T = T (t ) ℃,另一容器的温度为 T0 ℃,则依题意有
dT = k (T0 ? T ) dt

解此微分方程可得: T = T0 ? Ce ? k t , (其中 C 为任意常数) 再依题知: t = 0 时, T = 60 ; t = 10 时, T = 70 ; t = 20 时, T = 76 .则可得 方程组:
?60 = T0 ? C ? ?10 k ?70 = T0 ? Ce ? ? 20 k ?76 = T0 ? Ce

解此方程组得 T0 = 85 (在这里并可解得: C = 25 , k = 的温度为 85℃.

1 5 ln ) ,于是另一容器 10 3

四、饲料搭配
设每周需要供应大豆和谷物各为 x1 , x 2 公斤,而喂养成本是 y 元.则

y = x1 + 0.3x 2
由题设条件可得混合饲料约束、蛋白质约束、钙约束、谷物供应约束分别为: 混合饲料约束: x1 + x 2 ≥ 7 × 1000 × 0.5 ,即 x1 + x 2 ≥ 3500 ; 蛋白质约束: 50% x1 + 10% x 2 ≥ 7 × 1000 × 0.1 ,即 5 x1 + x 2 ≥ 7000 ; 钙约束: 0.5% x1 + 0.4% x 2 ≥ 7 × 1000 × 0.002 ,即 5 x1 + 4 x 2 ≥ 14000 ; 谷物供应约束: x 2 ≤ 2500 .
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又当 x1 , x 2 ≥0 时,由 x1 + x 2 ≥ 3500 可推出 5 x1 + 4 x 2 ≥ 14000 . 于是得到喂养成本最少的线性规划模型为:
min y = x1 + 0.3x 2

? x1 + x 2 ≥ 3500 ?5 x + x ≥ 7000 ? s.t.? 1 2 ? x 2 ≤ 2500 ? x1 , x 2 ≥0 ?
用图解法进行求解 可行域为:由直线 l1 : x1 +x 2 =3500 ,

l2

l 2 : x 2 =2500 及 x 2 =0 组成的第一象限
的无界区域.直线 l : x1 + 0.3 x 2 =c 在此 无界区域内平行移动.易知:当 l 过 l1 与 l 2 的交点时, y 取最大值.
l

l1

? x + x =3500 由? 1 2 ? x 2 = 2500

解得

? x1 = 1000 ? ? x 2 = 2500

y min = 1000 + 0.3×2500 = 1750 .
故每周需要供应大豆 1000 公斤和谷物 2500 公斤,喂养鸡的成本将最少,其 最小成本是 1750 元.

五、管道流量
(1)由最大流算法:从 S 到 T 单位时间的最大流通量为 14; (2)由最大流最小截定理:此整容量网络的最小截容量为 14. 令 A = { ⑥, ⑦, (T)
?

}

, A =V ? A
?

?

用 B 表示起点在 A 中而终点在 A 中的有向边集, 则 C ( B ) = ∑ C (e) =14,又令 A = { (S)
e∈B

} ,则 B = ( A, A)

?

, C ( B ) =18.

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又看流入⑤、④、③的容量(或流量) ,将④到⑥弧段改造成流通量为 7,则 最大流量将提高到 18.

六、通话概率
设 x, y 分别代表巡警 A、B 距基地的距离,于是 0≤ x≤ 40 , 0≤ y ≤ 50 .巡警 A、B 的每一特定的位置就是样本空间中的一个点,其样本空间为

U ={( x, y ) 0 ≤ x≤ 40 , 0≤ y ≤ 50 }
巡警 A、B 能够通过对讲机进行通话的事件所构成的点集为
S= (x, y )

{

x 2 + y 2 ≤ 30,( x , y )∈U

}

样本空间 U 的面积为 40×50= 2000 (平方公里) ,而所求事件 S 的面积为
900π 1 ×π ×30 2 = (平方公里) ,由几何概率公式知:巡警 A、B 能够通过对讲机 4 4 900π 进行通话的概率为 p = ≈ 0.353429 .(如下图) 8000

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