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11-12高数C(二)试卷A答案 (1)

11-12高数C(二)试卷A答案 (1)


课程考试标准答案和评分标准
学年学期 课程名称 课程号 上课班级 题号 题目类型 题目分值 每小题分值 一 选择题
28 4

20 11 ~ 20 12 学年第 2 学期 高等数学 C(二) 1101406 课序号

考核方式 A/B 卷
学分(学时)

闭卷 (A)卷 4(64)

二 填空题
20 4

三 计算题
24 8

四 计算题
12 6

五 计算题
10 10

六 应用题
6 6





一、选择题( 7 ? 4?, 共 28 分) 1、C 2、B 3、B 4、C 5、D 6、D 7、B

二、填空题( 5 ? 4?, 共 20 分) 1、

? 8

2、 ? x, y ? y 2 ? 4 x,0 ? x 2 ? y 2 ? 1 4、 e2dx ? 2e2dy

?

?

3、0

5、条件收敛

三、计算( 3 ? 8?, ,共 24 分)
?z ?z 1、已知 z ? f ( xy , x y) ,求 ?x , ?y
2 2

解:

?z ? y 2 f1 ? 2 xyf 2 ?x

?z ? 2 x y1f? x 2 f 2 ?y

2、设 D ? {( x, y) x ? y
2

2

x dxdy ? 4} ,求 ??
2 D

解: x ? r cos? , y ? r sin ? 原式= ?0 ? 4?
2?

d? ? r 3 cos 2 ? dr ? 4? cos 2 ? d?
0 0

2

2?

3、计算二次积分 I ? ? 2 dy?
0

?

?
2 y

sin x dx x
x

解:交换积分次序

I ? ? 2 dx?
0

?

0

sin x dy x

? ? 2 sin xdx ? 1
0

?

四、求解下列微分方程( 2 ? 6?, 共 12 分)
dy ? y ? ex dx 1、求方程 满足 y

x ?0

? 1 的特解。

解:原方程为一阶线性微分方程,通解为:
? ( ?1) dx ? ( ?1) dx y?e ? exe? dx ? C ? ? ? ? ? ? x ? e ?x ? C ?

由y

x ?0

? 1 得:C=1。

故所求特解为: y ? e x ?x ? 1?

2、二阶方程 y ?? ? 2 y ? ? 3 y ? 0 ,求满足 y(0) ? 0, y ?(0) ? 1 的特解 解:特征方程为: r 2 ? 2r ? 3 ? 0 ,解得: r1 ? 3,

r2 ? ?1,通解为:

y ? C1e 3 x ? C2 e ? x
由 定 解 条 件 得 : C1 ? C2 ? 0,
C1 ? 1 , 4 C2 ? ? 1 4 1 3x 1 ?x e ? e 4 4

3C1 ? C2 ? 1 。 解 得 :

故所求特解为: y ? 五、求幂级数 ? 分)
?

? 1 xn 的收敛域、和函数,并求级数 的和( 10 ? n n n ?1 n ? 3 n ?1 n ? 3

an (n ? 1).3n?1 解: lim ? lim ? 3 ,R=3 n?? a n?? n.3n n?1
当 x ? 3 ,发散;当 x ? ?3 ,原级数为交错级数,收敛。收敛域为:
[?3,3) 。

设 s( y ) ? ?
n ?1 ?

?

yn x , (y ? ) n 3 1 1? y
y 0

s ?( y) ? ? y n ?1 ?
n ?1
y

两边积分得 ? s ?( y)dy ? ?ln 1 ? y
0

? ? ln 1 ? y

因此 s( y) ? s(0) ? ? ln 1 ? y ? s( y) ? ? ln 1 ? y

所以 ?
?

x xn ? ? ln(1 ? ) n 3 n ?1 n ? 3

?

? n?3
n ?1

1

n

? ? ln

2 3 ? ln 3 2

六、 (6 分)某公司通过电视台和报纸两种方式作某商品的销售广告。据 统计,销售收入 R(万元)与投入的电视台广告费用 x1 (万元) 及 报 纸 广 告 费 用 x2 ( 万 元 ) 之 间 有 如 下 关 系 式 :
2 2 ? x1 ? x 2 R ? 15 ? 14x1 ? 32x2 ? 8 x1 x2 ? 2 x1 ? 10x2

若广告费用不限,求最优广告策略。
2 2 解:总收益为 R ? 15 ? 14x1 ? 32x2 ? 8 x1 x2 ? 2 x1 ? x1 ? x 2 ? 10x2

? ?R ? 13 ? 8 x 2 ? 4 x1 ? 0 ? 3 5 ? ?x1 则令 ? ,解得: x1 ? , x 2 ? ?R 4 4 ? ? 31? 8 x1 ? 20x 2 ? 0 ? ? x ? 2
故最优广告策略为:广告费用 x1 = 3 / 4 万元,广告费用 x 2 = 5 / 4 万元。



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