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2019教育第五章5.1 平面向量的概念及线性运算精品英语_图文

2019教育第五章5.1 平面向量的概念及线性运算精品英语_图文

数学 R A(理)
§5.1平面向量的概念及线性 运算
第五章 平面向量

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

1.向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有 大小 又有方向 的量;向量的大小叫
做向量的 长度 (或 称模 )

平面向量 是自由向


零向量

长度为 零 的向量; 其方向是任意的

记作_0_

非零向量

单位向 长度等于 1个单位 量 的向量

a 的单位 向量为
a ±|a|

1.向量的两要素
向量具有大小和方向两 个要素.用有向线段表示 向量时,与有向线段起点 的位置没有关系.同向且 等长的有向线段都表示 同一向量.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理

难点正本 疑点清源

平行 向量
共线 向量
相等 向量
相反 向量

方向 相同 或 相反 的非零向量
方向相同或相反
的非零向量又叫 做共线向量
长度 相等 且方向 相同 的向量
长度 相等 且方向 相反 的向量

0 与任一向量 平行 或共线
两向量只有相 等或不等,不 能比较大小 0 的相反向量
为0

1.向量的两要素
向量具有大小和方向两 个要素.用有向线段表示 向量时,与有向线段起点 的位置没有关系.同向且 等长的有向线段都表示 同一向量.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

2.向量的线性运算

向量 运算

定义

法则(或几何 意义)

运算律

加法

求两 个向 量和 的运 算

三角形 平行四边形

(1)交换律:a +b=b_+__a_. (2)结合律: (a+b)+c= _a_+__(b_+__c_)_.

2.一般地,首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量.
3.证明三点共线问题,可 用向量共线来解决,但 应注意向量共线与三 点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时,才能得出三点 共线;另外,利用向量 平行证明向量所在直 线平行,必须说明这两 条直线不重合.

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

求a与b的

减 法

相反向量 -b 的和的 运算叫做 a

与 b 的差

三角形 法则

a-b=a+ (-b)

2.一般地,首尾顺次相接 的多个向量的和等于 从第一个向量起点指 向最后一个向量终点 的向量.
3.证明三点共线问题,可

(1)|λa|=_|λ_||_a_| ;

用向量共线来解决,但

(2)当 λ>0 时,λa λ(μa)=

应注意向量共线与三

求实数 λ 的方向与 a 的 _λ_μ_a_;

数 与向量 a 方向 相同 ;当 (λ+μ)a=

乘 的积的运 λ<0 时,λa 的方 _λ_a_+__μ_a__;



向与 a 的方 λ(a+b)=

向相反 ;当 λ _λ_a_+__λ_b__

=0 时,λa=_0_

点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公 共点时,才能得出三点 共线;另外,利用向量 平行证明向量所在直 线平行,必须说明这两 条直线不重合.

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习

要点梳理

难点正本 疑点清源

2.一般地,首尾顺次相接

3. 共线向量定理

的多个向量的和等于 从第一个向量起点指

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存 向最后一个向量终点

在唯一一个实数 λ,使得__b_=__λ_a_.

的向量. 3.证明三点共线问题,可

用向量共线来解决,但

应注意向量共线与三

点共线的区别与联系,

当两向量共线且有公

共点时,才能得出三点

共线;另外,利用向量

平行证明向量所在直

线平行,必须说明这两

条直线不重合.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
8 2 东北方向 b-12a -2
A
C

基础知识

题型分类

思想方法

解析
练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量的概念辨析

【例 1】 给出下列命题:

解析

答案

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,

C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C

是四边形 ABCD 为平行四边形的

充要条件;③若 a=b,b=c,则 a

=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|

且 a∥b.

其中正确命题的序号是________.

探究提高

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量的概念辨析

【例 1】 给出下列命题:

解析

答案 探究提高

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,

①不正确.两个向量的长度相等, 但它们的方向不一定相同.

C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C

→→ → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|

是四边形 ABCD 为平行四边形的

→→ 且AB∥DC,

充要条件;③若 a=b,b=c,则 a =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b.

又∵A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形;反之,
→ 若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB ∥D→C且|A→B|=|D→C|,因此,A→B=D→C.

其中正确命题的序号是________. ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相
等且方向相同;又 b=c,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量的概念辨析

【例 1】 给出下列命题:

解析

答案 探究提高

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B, ∴b,c 的长度相等且方向相同,

∴a,c 的长度相等且方向相同,
C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C 故 a=c.

是四边形 ABCD 为平行四边形的 ④不正确.当 a∥b 且方向相反

充要条件;③若 a=b,b=c,则 a =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b.

时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件,而是必要 不充分条件.

其中正确命题的序号是________. 综上所述,正确命题的序号是 ②③.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量的概念辨析

【例 1】 给出下列命题:

解析

答案

探究提高

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B, ∴b,c 的长度相等且方向相同,

∴a,c 的长度相等且方向相同,
C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C 故 a=c.

是四边形 ABCD 为平行四边形的 ④不正确.当 a∥b 且方向相反

充要条件;③若 a=b,b=c,则 a =c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b.

时,即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故“|a|=|b|且 a∥b”不是 “a=b”的充要条件,而是必要 不充分条件.

其中正确命题的序号是__②__③____. 综上所述,正确命题的序号是 ②③.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型一

平面向量的概念辨析

【例 1】 给出下列命题:

解析

答案

探究提高

①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B, (1)正确理解向量的相关概念及其
含义是解题的关键.

C,D 是不共线的四点,则A→B=D→C (2)相等向量具有传递性,非零向

量的平行也具有传递性.
是四边形 ABCD 为平行四边形的 (3)共线向量即为平行向量,它们

充要条件;③若 a=b,b=c,则 a 均与起点无关.

=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b| 且 a∥b. 其中正确命题的序号是__②__③____.

(4)向量可以平移,平移后的向量与 原向量是相等向量.解题时,不要把 它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量 a 与|aa|的关系:|aa|是 a 方向上的单位向量.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 1 下列命题中正确 解析 由于零向量与任一向量都共线,所

的是

(

C

)

以 A 不正确; 由于数学中研究的向量是自由向量,所以

A.a 与 b 共线,b 与 c 共线, 两个相等的非零向量可以在同一直线上,

则 a 与 c 也共线

而此时就构不成四边形,所以 B 不正确;

B.任意两个相等的非零向量 向量的平行只要求方向相同或相反,与起

的始点与终点是一个平行 点是否相同无关,所以 D 不正确;

对于 C,其条件以否定形式给出,所以可

四边形的四个顶点

从其逆否命题入手来考虑,假设 a 与 b 不

C.向量 a 与 b 不共线,则 a 都是非零向量,即 a 与 b 中至少有一个是

与 b 都是非零向量

零向量,而由零向量与任一向量都共线,

D.有相同起点的两个非零向 可知 a 与 b 共线,符合已知条件,所以有

量不平行

向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向 量,故选 C.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

向量的线性运算

【例 2】 如图,以向量O→A=a,O→B= 思维启迪

解析

探究提高

b 为邻边作?OADB,B→M=13B→C,C→N =13C→D,用 a,b 表示O→M,O→N,M→N.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

向量的线性运算

【例 2】 如图,以向量O→A=a,O→B=
b 为邻边作?OADB,B→M=13B→C,C→N =13C→D,用 a,b 表示O→M,O→N,M→N.

思维启迪

解析

探究提高

结合图形性质,准确灵活运用 三角形法则和平行四边形法 则是向量加减运算的关键.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

向量的线性运算

【例 2】 如图,以向量O→A=a,O→B= 思维启迪

解析

探究提高

b 为邻边作?OADB,B→M=13B→C,C→N =13C→D,用 a,b 表示O→M,O→N,M→N.

解 ∵B→A=O→A-O→B=a-b, B→M=16B→A=16a-16b, ∴O→M=O→B+B→M=16a+56b.

又∵O→D=a+b,

∴O→N=O→C+13C→D=12O→D+16O→D

=23O→D=23a+23b,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

向量的线性运算

【例 2】 如图,以向量O→A=a,O→B= 思维启迪

解析

探究提高

b 为邻边作?OADB,B→M=13B→C,C→N ∴M→N=O→N-O→M=23a+23b-16a

=13C→D,用 a,b 表示O→M,O→N,M→N. -56b=12a-16b.

综上,O→M=16a+56b,O→N=23a+

23b,M→N=12a-16b.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型二

向量的线性运算

【例 2】 如图,以向量O→A=a,O→B=
b 为邻边作?OADB,B→M=13B→C,C→N =13C→D,用 a,b 表示O→M,O→N,M→N.

思维启迪

解析

探究提高

(1)解题的关键在于搞清构成三角 形的三个问题间的相互关系,能 熟练地找出图形中的相等向量, 并能熟练运用相反向量将加减法

相互转化.

(2)用几个基本向量表示某个向量

问题的基本技巧:①观察各向量

的位置;②寻找相应的三角形或

多边形;③运用法则找关系;

④化简结果.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 2 在△ABC 中,A→B=c,A→C=b,若点 D 满足B→D=2D→C,

则A→D等于

( A)

A.23b+13c

B.53c-23b

C.23b-13c

D.13b+23c

解析 ∵B→D=2D→C,∴A→D-A→B=2(A→C-A→D),

∴3A→D=2A→C+A→B,

∴A→D=23A→C+13A→B=23b+13c.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量定理及应用

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 思维启迪 解析 探究提高
不共线, (1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b, C→D=3(a-b),求证:A、B、D
三点共线;

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a

+kb 共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量定理及应用

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b
不共线, (1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b, C→D=3(a-b),求证:A、B、D
三点共线;

思维启迪 解析 探究提高
解决点共线或向量共线的问题,要 结合向量共线定理进行.

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a

+kb 共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量定理及应用

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 思维启迪 解析 探究提高

不共线, (1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b, (1)证明

∵A→B=a+b,B→C=2a+

C→D=3(a-b),求证:A、B、D 8b,C→D=3(a-b),

三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a +kb 共线.

∴B→D=B→C+C→D=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5A→B.
∴A→B、B→D共线,又∵它们有公共点 B,

∴A、B、D 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量定理及应用

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 思维启迪 解析 探究提高

不共线, (1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b, (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, C→D=3(a-b),求证:A、B、D ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),

三点共线;

即 ka+b=λa+λkb.

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a ∴(k-λ)a=(λk-1)b.

+kb 共线.

∵a、b 是不共线的两个非零向量,

∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0. ∴k=±1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

题型三

共线向量定理及应用

【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 思维启迪 解析 探究提高

不共线,

(1)证明三点共线问题,可用向量共

(1)若A→B=a+b,B→C=2a+8b, 线解决,但应注意向量共线与三点

C→D=3(a-b),求证:A、B、D 共线的区别与联系,当两向量共线

三点共线;

且有公共点时,才能得出三点共线.

(2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零

+kb 共线.

的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 成立,

若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0

时成立,则向量 a、b 不共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

变式训练 3 设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,
且D→C=2B→D,C→E=2E→A,A→F=2F→B,则A→D+B→E+C→F与B→C( A )

A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

解析 由题意,得D→C=D→A+A→C,B→D=B→A+A→D.

又D→C=2B→D,所以D→A+A→C=2(B→A+A→D).

所以A→D=13A→C+23A→B. 同理,得B→E=13B→C+23B→A,C→F=13C→A+23C→B. 将以上三式相加,得A→D+B→E+C→F=-13B→C.故选 A.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

思想与方法 10.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD

与 BC 相交于点 M,设O→A=a,O→B=b.试用 a 和 b 表示向量O→M.

审题视角

规范解答

温馨提醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

思想与方法 10.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD

与 BC 相交于点 M,设O→A=a,O→B=b.试用 a 和 b 表示向量O→M.

审题视角

规范解答

温馨提醒

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可
能地转化到平行四边形或三角形中去. (2)既然O→M能用 a、b 表示,那我们不妨设出O→M=ma+nb.
(3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

思想与方法 10.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD

与 BC 相交于点 M,设O→A=a,O→B=b.试用 a 和 b 表示向量O→M.

审题视角

规范解答

温馨提醒

解 设O→M=ma+nb,则A→M=O→M-O→A=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

A→D=O→D-O→A=12O→B-O→A=-a+12b.

3分

又∵A、M、D 三点共线,∴A→M与A→D共线.

∴存在实数 t,使得A→M=tA→D,

即(m-1)a+nb=t???-a+12b???.

5分

∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析

思想与方法 10.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD

与 BC 相交于点 M,设O→A=a,O→B=b.试用 a 和 b 表示向量O→M.

审题视角

规范解答

温馨提醒

??m-1=-t ∴???n=2t 即 m+2n=1.

,消去 t 得,m-1=-2n,

又∵C→M=O→M-O→C=ma+nb-14a=???m-14???a+nb, C→B=O→B-O→C=b-14a=-14a+b. 又∵C、M、B 三点共线,∴C→M与C→B共线.

∴存在实数 t1,使得C→M=t1C→B,

基础知识

题型分类

思想方法

① 7分
10分
练出高分

题型分类·深度剖析

思想与方法 10.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD

与 BC 相交于点 M,设O→A=a,O→B=b.试用 a 和 b 表示向量O→M.

审题视角

规范解答

温馨提醒

∴???m-14???a+nb=t1???-14a+b???,

∴???m-14=-14t1 , ??n=t1

消去 t1 得,4m+n=1. 由①②得 m=17,n=37,∴O→M=17a+37b.

基础知识

题型分类

思想方法



12分

14分

练出高分

题型分类·深度剖析

思想与方法 10.方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例:(14 分)如图所示,在△ABO 中,O→C=14O→A,O→D=12O→B,AD

与 BC 相交于点 M,设O→A=a,O→B=b.试用 a 和 b 表示向量O→M.

审题视角

规范解答

温馨提醒

(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有 一定的难度.(2)易错点是,找不到问题的切入口,亦即想不到利用待 定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量 是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数 习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的 方法与技巧.如本题易忽视 A、M、D 共线和 B、M、C 共线这个几何 特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示,是



向量坐标形式的基础.



与 2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线.如



A→B∥C→D且 AB 与 CD 不共线,则 AB∥CD;若A→B



∥B→C,则 A、B、C 三点共线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑



向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是



考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的



特殊性.



范 2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求

得所求向量的相反向量,导致错误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

1

2

A组 专项基础训练

3

4

5

6

7

1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,

解析

一定是共线向量;②两个向量

不能比较大小,但它们的模能

比较大小;③λa=0 (λ 为实数),

则 λ 必为零;④λ,μ 为实数,

若 λa=μb,则 a 与 b 共线.

其中错误命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

基础知识

题型分类

思想方法

8

9

练出高分

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.给出下列命题:

解析

①两个具有公共终点的向量, ①错,由于终点相同,两起点不一

一定是共线向量;②两个向量 定相同,所以可以不共线.

不能比较大小,但它们的模能 ②对,由于模是实数,所以可以比

比较大小;③λa=0 (λ 为实数), 较大小.

则 λ 必为零;④λ,μ 为实数, ③错,由于 a=0,λ≠0 时,也可以

若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 得 λa=0.

其中错误命题的个数为( C ) ④错,当 λ=μ=0 时,虽然 λa=μb,

A.1

B.2

但是 a 与 b 可以不共线.∴错误命

C.3

D.4

题个数为 3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组 专项基础训练

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,B→C+B→A=2B→P,则( )

A.P→A+P→B=0

B.P→C+P→A=0

C. P→B+P→C=0

D. P→A+P→B+P→C=0

解析

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A组 专项基础训练

1

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3

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9

2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,B→C+B→A=2B→P,则( B )

A.P→A+P→B=0

B.P→C+P→A=0

C. P→B+P→C=0

D. P→A+P→B+P→C=0

解析

如图,根据向量加法的几何意义有B→C+B→A =2B→P?P 是 AC 的中点,故P→A+P→C=0.

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3.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d,

那么

()

A.k=1 且 c 与 d 同向

B.k=1 且 c 与 d 反向

C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

解析

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3.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d,

那么

( D)

A.k=1 且 c 与 d 同向

B.k=1 且 c 与 d 反向

C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

解析

∵c∥d,∴c=λd,
即 ka+b=λ(a-b),∴?????kλ==-λ 1 .

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4.(2011·四川)如图,正六边形 ABCDEF 中,B→A+C→D+E→F等于

A.0

B.B→E

C.A→D

() D.C→F

解析

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8

9

4.(2011·四川)如图,正六边形 ABCDEF 中,B→A+C→D+E→F等于

A.0

B.B→E

C.A→D

(D )
D.C→F

解析

因 ABCDEF 是正六边形,

故B→A+C→D+E→F=D→E+C→D+E→F=C→E+E→F=C→F.

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5.设 a、b 是两个不共线向量,A→B=2a+pb,B→C=a+b,C→D=a-

2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为________.
解析

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5.设 a、b 是两个不共线向量,A→B=2a+pb,B→C=a+b,C→D=a-

2b,若 A、B、D 三点共线,则实数 p 的值为__-___1___. 解析

∵B→D=B→C+C→D=2a-b,又 A、B、D 三点共线,

∴存在实数 λ,使A→B=λB→D.即?????2p==2-λλ ,∴p=-1.

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6.在?ABCD 中,A→B=a,A→D=b,A→N=3N→C,M 为 BC 的中点,则

M→N=____________(用 a,b 表示).

解析

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6.在?ABCD 中,A→B=a,A→D=b,A→N=3N→C,M 为 BC 的中点,则 M→N=__-__14_a_+__14_b___(用 a,b 表示).

解析

由A→N=3N→C得A→N=34A→C=34(a+b), A→M=a+12b,所以M→N=A→N-A→M

=34(a+b)-???a+12b???=-14a+14b.

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7.给出下列命题: ①向量A→B的长度与向量B→A的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④向量A→B与向量C→D是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条 直线上. 其中不正确的个数为________.
解析

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9

7.给出下列命题: ①向量A→B的长度与向量B→A的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④向量A→B与向量C→D是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条 直线上.
其中不正确的个数为___2_____.
解析

命题①③正确,②④不正确.

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8.(10 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当

t 为何值时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在同一条直线上?

解析

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9

8.(10 分)若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当

t 为何值时,a,tb,13(a+b)三向量的终点在同一条直线上?
∴ 要使 A→ 解CA=析、O→BC、-CO→解三 A=点- 设共23O→线aA+,=13只ab,,需OA→ →A→BBC===Ot→bλBA,→-BO→.O→CA==13t(ba-+ab.),

即-23a+13b=λtb-λa.

∴有?????- 13=23= λt,-λ,

??????tλ==1223.,

∴当 t=12时,三向量的终点在同一条直线上.

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9.(12 分)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

点,BE 与 CF 相交于 G 点,设A→B=a,A→C=b,

试用 a,b 表示A→G.
解析

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A组 专项基础训练

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6

7

9.(12 分)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

点,BE 与 CF 相交于 G 点,设A→B=a,A→C=b,

试用 a,b 表示A→G.
解析

解 A→G=A→B+B→G=A→B+λB→E =A→B+2λ(B→A+B→C)

=???1-2λ???A→B+2λ(A→C-A→B)

=(1-λ) A→B+2λA→C=(1-λ)a+2λb.

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思想方法

8

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A组 专项基础训练

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9.(12 分)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的中

点,BE 与 CF 相交于 G 点,设A→B=a,A→C=b,

试用 a,b 表示A→G.
解析

又A→G=A→C+C→G=A→C+mC→F=A→C+m2 (C→A+C→B) =(1-m) A→C+m2 A→B=m2 a+(1-m)b,

∴?????11--mλ==m22λ

,解得 λ=m=23,∴A→G=13a+13b.

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8

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B组 专项能力提升

1

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7

1.(2012·浙江)设 a,b 是两个非零向量.

()

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b

B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解析

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

6

7

1.(2012·浙江)设 a,b 是两个非零向量.

()

A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b

B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解 析 利用向量运算法则,特别是|a|2=a2 求解.

由|a+b|=|a|-|b|知(a+b)2=(|a|-|b|)2,

即 a2+2a·b+b2=|a|2-2|a||b|+|b|2, ∴a·b=-|a||b|.

∵a·b=|a||b|·cos〈a,b〉,

∴cos〈a,b〉=-1,∴〈a,b〉=π,

此时 a 与 b 反向共线,因此 A 错误.

当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不共线,因此 B 错误.

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B组 专项能力提升

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6

7

1.(2012·浙江)设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

(C )

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|

解析

若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ=-1,使 b=-a,

满足 a 与 b 反向共线,故 C 正确. 若存在实数 λ,使得 b=λa, 则|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,

|a|-|b|=|a|-|λa|=(1-|λ|)|a|,只有当-1≤λ≤0 时,|a+b|=|a| -|b|才能成立,否则不能成立,故 D 错误

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B组 专项能力提升

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7

2.已知△ABC 和点 M 满足M→A+M→B+M→C=0,若存在实数 m 使得A→B

+A→C=mA→M成立,则 m 等于

()

A.2

B.3

C.4

D.5

解析

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B组 专项能力提升

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2

3

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5

6

7

2.已知△ABC 和点 M 满足M→A+M→B+M→C=0,若存在实数 m 使得A→B

+A→C=mA→M成立,则 m 等于

(B )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析
由已知条件得M→B+M→C=-M→A.

如图,因此延长 AM 交 BC 于 D 点,则 D 为 BC 的中点.延长 BM 交 AC 于 E 点,延长 CM 交 AB 于 F 点,同理可证 E、F 分别为 AC、AB 的中点,即 M 为△ABC 的重心. A→M=23A→D=13(A→B+A→C),即A→B+A→C=3A→M,则 m=3.

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B组 专项能力提升

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7

3.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P

满足:O→P=O→A+λ

? ? ?

→ AB →



→ AC →

? ??,λ∈[0,+∞),则

P

的轨迹一

?|AB| |AC|?

定通过△ABC 的

A.外心

B.内心

C.重心

() D.垂心

解析

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

6

7

3.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P

满足:O→P=O→A+λ

? ? ?

→ AB →



→ AC →

? ??,λ∈[0,+∞),则

P

的轨迹一

?|AB| |AC|?

定通过△ABC 的

A.外心

B.内心

C.重心

(B )
D.垂心

解析
作∠BAC 的平分线 AD.

∵O→P=O→A+λ???

→ AB →



→ AC →

? ??,

∴A→P=λ???

→ AB →



→ AC →

?



??=λ′·A→D

?|AB| |AC|? (λ′∈[0,+∞)),

?|AB| |AC|?

|AD|

∴A→P=

λ′ →

·A→D,∴A→P∥A→D.

∴P

的轨迹一定通过△ABC

的内心.

|AD|

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B组 专项能力提升

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7

4.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、

b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上).

①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e;②存在相异实数 λ、μ,使 λ·a

+μ·b=0;③x·a+y·b=0(实数 x,y 满足 x+y=0);④若四边形 ABCD 是梯形,则A→B与C→D共线.
解析

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B组 专项能力提升

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3

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4.已知向量 a,b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a、
b 共线的条件是____①__②____(将正确的序号填在横线上).

①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e;②存在相异实数 λ、μ,使 λ·a

+μ·b=0;③x·a+y·b=0(实数 x,y 满足 x+y=0);④若四边形 ABCD 是梯形,则A→B与C→D共线.
解析

由①得 10a-b=0,故①对.②对.

对于③当 x=y=0 时,a 与 b 不一定共线,故③不对. 若 AB∥CD,则A→B与C→D共线,若 AD∥BC,则A→B与C→D不共线.

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

6

7

5.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N, 若A→B=mA→M,A→C=nA→N,则 m+n 的值为________.

解析

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

6

7

5.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,
若A→B=mA→M,A→C=nA→N,则 m+n 的值为___2_____.

解析

∵O 是 BC 的中点,

∴A→O=12(A→B+A→C). 又∵A→B=mA→M,A→C=nA→N,∴A→O=m2 A→M+n2A→N. ∵M,O,N 三点共线,∴m2 +n2=1.则 m+n=2.

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B组 专项能力提升

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7

6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若A→D=2D→B,C→D=13C→A

+λC→B,则 λ=________.

解析

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B组 专项能力提升

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7

6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若A→D=2D→B,C→D=13C→A

+λC→B,则

2 λ=____3____.

解析

由图知C→D=C→A+A→D,



C→D=C→B+B→D,



且A→D+2B→D=0.

①+②×2 得:3C→D=C→A+2C→B,

∴C→D=13C→A+23C→B,∴λ=23.

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7.(13 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

(1)求G→A+G→B+G→O;(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且O→A=a,

O→B=b,O→P=ma,O→Q=nb,求证:m1 +n1=3.
解析

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B组 专项能力提升

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7

7.(13 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

(1)求G→A+G→B+G→O;(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且O→A=a,

O→B=b,O→P=ma,O→Q=nb,求证:m1 +n1=3.
解析
(1)解 因为G→A+G→B=2G→M,又 2G→M=-G→O, 所以G→A+G→B+G→O=-G→O+G→O=0. (因 由2)为证P、明GG是、显△Q然A三BOO→点M的共=重线12(心a,+,得b所)P→.G以∥O→G→ GQ=,23O→M=13(a+b). 所以,有且只有一个实数 λ,使P→G=λG→Q.

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B组 专项能力提升

1

2

3

4

5

6

7

7.(13 分)已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点.

(1)求G→A+G→B+G→O;(2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且O→A=a,

O→B=b,O→P=ma,O→Q=nb,求证:m1 +n1=3.

G→Q=解O→Q析-O→G=而nbP→-G=13(aO→+G-b)=O→P-=1313a(+a+???nb-)-13???mb,a=???13-m???a+13b,

所以???13-m???a+13b=λ???-13a+???n-31???b???.

??13-m=-13λ

又因为 a、b 不共线,所以???13=λ???n-13???



消去 λ,整理得 3mn=m+n,故m1 +1n=3.

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