haihongyuan.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

山东师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试(数学理)

山东师范大学附属中学2015届高三第四次模拟考试(数学理)


2.下列说法正确的是

,则x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1, 则x ? 1 ” A.命题“若 x ? 1
2

2

B.命题“ ?x0 ? R,x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”
2

2

C.命题“若 x ? y, 则 sin x ? sin y ”的逆命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3.执行如右图所示的程序框图,输出的 k 值是 A.4 B.5 C.6 D.7

4.若 z ? sin ? ? A.

3 ? 4? ? i ? cos ? ? ? 是纯虚数,则 tan ?? ? ? ? 的值为 5 ? 5? 4 3
C. ?

3 4

B.

3 4

D. ?

4 3

5.某种运动繁殖量 y (只)与时间 x (年)的关系为 y ? a log3 ? x ? 1? ,设这种动 物第 2 年有 100 只,到第 8 年它们发展到 A.200 只 B.300 只 C.400 只 D.500 只

6.一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图是一个正三角形, 则该几何体的体 积为 A.

3 3 2 3 3

B.1

C.

D. 3

7.已知集合 A ? x 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x y ? lg 的概率为 A.

?

?

? ?

1? x ? ? ,在区间 ? ?3,3? 上任取一实数 x ,则 x ? A ? B x ? 3?

1 4

B.

1 8

C.

1 3

D.

1 12 a3 ? a4 的值为 a4 ? a5

8.各项都是正数的等比数列 ?an ? 中,且 a2, a3 , a1 成等差数列,则

1 2

第 1页(共 10页)

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2
2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 1? 5 或 2 2 b?2 的取值范围是 a ?1

9.实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 0 的一个根在 ? 0,1? 上,另一个根在 ?1, 2 ? 上,则 A. ?1, 4? B.

?1, 4?

C. ? ,1? ?4 ?

?1 ?

D. ?

?1 ? ,1? ?4 ?

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1 , F2 ,两条曲线在第一象限的交点为 P,?PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,则e1 ? e2 的 取值范围是 A.

? 0, ?? ?

B. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

C. ? , ?? ?

?1 ?5

? ?

D. ? , ?? ?

?1 ?9

? ?

第 II 卷(共 100 分) 注意事项: 1.第 II 卷包括 5 道填空题,6 道解答题. 2.第 II 卷所有题目的答案,考生需用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内,在试卷上答题不 得分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11. 将函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

?? ? 的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变得到新函数 3?

g ? x ? ,则 g ? x ? 的最小正周期是__________.
12.已知直线 l : 3 x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的长度等 于__________. 13.若 ? x ?
2 2

? ?

3? ? 的展开式的各项系数绝对值之和为 1024,则展开式中 x 项的系数为_________. x? x ,直线 y ? x ? 2及y 轴所围成的图形的面积为__________.

n

14.由曲线 y ?

15.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3,32 ? 1 ? 3 ? 5, 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7, ??? ; 22 ? 3 ? 5,33 ? 7 ? 9 ? 11, 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19, ???.
根据上述分解规律,若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ??? ? 11, p 的分解中最小的正整数是 21,则 m ? p ? ___________.
2 3

第 2页(共 10页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内,写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)已知向量 m ?

u r

?

u r r r ? 1? 3 sin x ? cos x,1 , n ? ? cos x, ? ,若 f ? x ? ? m ? n . 2? ?

?

(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (II)已知 ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a ? 3 , f ?

3 ?A ? ? (A 为锐角) , ? ?? ? 2 12 ? 2

2sin C ? sin B ,求 A、 c、b 的值.
17.(本题满分 12 分)口袋中装着标有数字 1,2,3,4 的小球各 2 个,从口袋中任取 3 个小球,按 3 个小 球上最大数字的 8 倍计分,每个小球被取出的可能性相等,用 ? 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (I)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (II)随机变量 ? 的概率分布和数学期望; (III)计分介于 17 分到 35 分之间的概率.

18. ( 本 题 满 分

12

分 ) 在 如 图 的 多 面 体 中 ,

EF ? 平 面

AEB ,

AE ? EB, AD / / EF , EF / / BC , BC ? 2 AD ? 4, EF ? 3, AE ? BE ? 2, G是BC的中点. (I)求证:AB//平
面 DEG; (II)求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

19.(本题满分 12 分)

第 3页(共 10页)

已知双曲线 的正数数列.

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 an an ?1

?

cn , 0 ,一条渐近线方程为 y ?

?

2 x ,其中 ?an ? 是以 4 为首项 2

(I)求数列 ?cn ? 的通项公式; (II)若不等式 围.

1 2 n n 2 ? ?L? ? ? ? log a x ? a ? 1? 对一切正常整数 n 恒成立,求实数 x 的取值范 n c1 c2 cn 3 ? 2 3

20.(本题满分 13 分)在直角坐标系 xOy ,椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1、F2 . a 2 b2 5 . 3

其中 F2 也是抛物线 C2:y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1与C2 在第一象限的交点,且 MF2 ? (I)求椭圆 C1 的方程;

(II)若过点 D(4,0)的直线 l与C1 交于不同的两点 A、B,且 A 在 DB 之间,试求 ?AOD与? BOD 面积 之比的取值范围.

21.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

1 2 ax ? bx ? a ? 0 ? . 2

(I)若 a ? ?2 时,函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在其定义域上是增函数,求 b 的取值范围; (II)在(I)的结论下,设函数 ? ? x ? ? e
2x

? be x , x ? ? 0, ln 2? ,求函数 ? ? x ? 的最小值;

(III)设函数 f ? x ? 的图象 C1 与函数 g ? x ? 的图象 C2 交于 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交

C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横
坐标;若不存在,请说明理由.

第 4页(共 10页)

(Ⅱ)∵

f(

A ? 3 ? ? 又 0 ? A ? ,∴ A ? ? ) ? sin A ? 2 12 2 2 3


…………………8 分 ………………………9 分 ………………………10 分

∵ 2sin C ? sin B .由正弦定理得 b ? 2c, ∵ a ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? b ? c ? 2bc cos 解①②组成的方程组,得 ? 综上 A ?
2 2

? , ② 3

?c ? 3 . ?b ? 2 3
………………………12 分

? ,b ? 2 3 ,c ? 3 . 3

17.( 满分 12 分) 解: (Ⅰ)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A , 则 P ( A) ?
3 1 1 1 C4 ? C2 ? C2 ? C2 4 ? . 3 C8 7

……………………………3 分

(Ⅱ)由题意 ? 所有可能的取值为:2,3,4.

P (? ? 2) ?

2 1 1 2 2 1 1 2 C2 ? C2 ? C2 ? C2 C4 ? C2 ? C4 ? C2 1 2 ? ; P ( ? ? 3) ? ? ; 3 3 C8 14 C8 7 1 1 2 C62 ? C2 ? C6 ? C2 9 ? ; 3 C8 14

P (? ? 4) ?

……………………………7 分

所以随机变量 ? 的概率分布为
第 5页(共 10页)

?
P

2

3

4

2 9 7 14 1 2 9 4 因此 ? 的数学期望为 E? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 3 . 14 7 14 7 P (C ) ? P (? ? 3或? ? 4) ? P (? ? 3) ? P (? ? 4) ?
18.( 满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴ AB / / DG .

1 14

……………………………9 分

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于 17 分到 35 分之间”的事件记为 C ,则

2 9 13 ? ? . …………………12 分 7 14 14

……………………………2 分 ……………4 分

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ)解∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB ,∴ EB, EF , EA 两两垂直. 以点 E 为坐标原点,以 EB, EF , EA 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如 图的空间直角坐标系. …………………6 分

A

z

D

由已知得, A (0,0,2) , B (2,0,0) , , F (0,3,0) , D (0,2,2) .…………7 分 C (2,4,0) ??? ? 由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. ……8 分 设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) ,
E F y

x B

G

C

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?? y ? 2 z ? 0 ? FD ? n ? 0 ∴ ? ??? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ? ? ?2 x ? y ? 0 ? ? FC ? n ? 0
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? ,由图知 ? 为钝角, ∴ cos ? ? ? | cos ? n, EB ?|? ? |

…………………10 分

??? ?

?2 2 6

|? ?

6 , 6

第 6页(共 10页)

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ? 19. ( 满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵双曲线方程为

6 . 6

…………………12 分

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为( cn ,0),∴ cn ? an ? an ?1 .…1 分 an an ?1 an a 2 x ,∴ ? 2 ,即 n =2, a n ?1 2 a n ?1
…………………3 分

又∵一条渐近线方程为 y ?

20. ( 满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意知 F2 (1, 0) ,设 M ( x1 , y1 ) . 由抛物线定义得 | MF2 |? 1 ? x1 ?

5 2 ,即 x1 ? . 3 3

………………1 分

将 x1 ?

2 6 2 代人抛物线方程得 y1 ? , 3 3

………………2 分

2 2 6 2 ( )2 ( ) 2 2 进而由 3 2 ? 32 ? 1 及 a 2 ? b 2 ? 1 ,解得 a ? 4, b ? 3 . a b
第 7页(共 10页)

x2 y2 ? ? 1. 故椭圆 C1 的方程为 4 3

………………5 分

x2 y2 ? ? 1, (Ⅱ)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? my ? 4 代人 4 3
整理得 (3m ? 4) y ? 24my ? 36 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 m 2 ? 4 .
2 2

………………6 分 ………………7 分

?24 m ? ? y1 ? y2 ? 3 m2 ? 4 ? 设 A( x , y ), B ( x , y ) ,则 y1 ? y2 ? 36 ? 3m2 ? 4 ?
1 1 2 2

① ②
………………8 分

1 OD ? y 1 y S ?AOD 2 ? 1 且 0 ? ? ? 1. 令? ? ,则 ? ? 1 S ?BOD OD ? y2 y2 2 ?24m ? (? ? 1) y2 ? ? ? 3m 2 ? 4 将 y1 ? ? y2 代人①②得 ? ? ? y 2 ? 36 2 ? 3m 2 ? 4 ?
即m ?
2

………………9 分

,消去 y 2 得

(? ? 1) 2

?

?

16 m2 , 3m 2 ? 4

4(? ? 1) 2 . 10? ? 3? 2 ? 3

………………10 分

由m ? 4得

2

(? ? 1) 2 ? 1 ,所以 ? ? 1 且 3? 2 ? 10? ? 3 ? 0 , 10? ? 3? 2 ? 3
………………12 分

解得

1 ? ? ?1或 . 1? ? ? 3 3 1 ? ? ?1 3 1 3

又? 0 ? ? ? 1 ,∴

1) . 故 ?ODA 与 ?ODB 面积之比的取值范围为 ( ,

………………13 分

21. ( 满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意: h( x ) ? ln x ? x ? bx. ∵ h( x)在(0,??) 上是增函数,
2

第 8页(共 10页)

∴ h?( x ) ?

1 1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,∴ b ? (2 x ? )min x x 2 1 时取等号. ? 2 x ? 2 2 . 当且仅当 x ? 2 x

………………2 分

∵ x ? 0, 则

∴b 的取值范围为 ( ??,2 2 ]. (Ⅱ)设 t ?e , 则函数化为 y ? t ? bt , t ? [1,2] ,即 y ? (t ? ∴当 ?
x 2

………………4 分

b 2 b2 , t ? [1, 2] .…5 分 ) ? 2 4

b ? 1, 即 ? 2 ? b ? 2 2时, 函数y在[1,2] 上为增函数,当 t=1 时, y min ? b ? 1. 2 b2 b b ? 2, 即 ? 4 ? b ? ?2时, 当t ? ? 时, y min ? ? ; 4 2 2

当1 ? ? 当?

b ? 2, 即b ? ?4时, 函数y在[1, 2] 上为减函数,当 t=2 时, ymin ? 4 ? 2b. ……8 分 2 (b ? ?4) ?4 ? 2b ? 2 ? b ? ( x)min ? ? ? (?4 ? b ? ?2) 4 ? 综上所述, ………………9 分 ? ? b ? 1 (?2 ? b ? 2 2)
(Ⅲ)设点 P、Q 的坐标是 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 且0 ? x1 ? x 2 . 则点 M、N 的横坐标为 x ?

x1 ? x 2 . 2

C1 在 M 处的切线斜率为 k1 ?

2 . x1 ? x 2

第 9页(共 10页)

所以 r (u )在[1,??) 上单调递增,故 r (u ) ? r (1) ? 0 ,则 ln u ?

2(u ? 1) , u ?1

这与①矛盾,假设不成立,故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.……14 分

第 10页(共 10页)



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com