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2014届高考数学一轮复习 第2章 第4节《函数的奇偶性与周期性》名师首选练习题 新人教A版

2014届高考数学一轮复习 第2章 第4节《函数的奇偶性与周期性》名师首选练习题 新人教A版


第二章
一、选择题

第四节

函数的奇偶性与周期性

1.若奇函数 f(x)=3sin x+c 的定义域是[a,b],则 a+b+c 等于( A.3 C.0 B.-3 D.无法计算

)

2.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成 立的是( )

A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数 3.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(2+x)=f(2-x),则 f(4)=( A.4 C.0 B.2 D.不确定 )

4.若函数 f(x)= ? 2x+1? ? A. C. 1 2 3 4

x x-a?
2 B. 3 D.1

为奇函数,则 a=(

)

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)=( A.0 C.2 B.1 D.3

)

6.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,

f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为(
A.6 C.8 二、填空题 B.7 D.9

)

7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(1)=________. 8.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2 -4(x≥0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为________. 2a-1 9.设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 3 的奇函数,若 f(1)<1,f(2)= ,则 a 的取 a+1 值范围是________. 三、解答题
1
x

2

10.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0, 求实数 m 的取值范围.

?-x +2x,x>0, ? 11.已知函数 f(x)=?0, x=0, ?x2+mx, x<0 ?
(1)求实数 m 的值;

2

是奇函数.

(2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

12.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈ [0,2]时,f(x)=2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 012).
2

详解答案 一、选择题 1.解析:由于函数 f(x)是奇函数,且定义域为[a,b],所以 a+b=0,又因为 f(0)=
2

0, 得 c=0,于是 a+ b+c=0. 答案:C 2.解析:设 F(x)=f(x)+|g(x)|,由 f(x)和 g(x)分别 是 R 上的偶函数和奇函数,得

F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x),∴f(x)+|g(x)|是偶函数.
答案:D 3.解析:∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0. ∴f(4)=f(2-2)=f(0)=0. 答案:C 4.解析:法一:由已知得 f(x)= ? 数定义域为
? ? 1 1 ?x|x≠- 且x≠a?,知 a= . 2 2 ? ?

x
2x+1? ?

x-a?

定义域关于原点对称,由于该函

法二: ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 又 f(x)= 2 , 2x +? 1-2a? x-a 则 2x -?
2

x

-x -x = 2 在函数的定义域内恒成立,∴1-2a=0, 1-2a? x-a 2x +? 1-2a? x-a

1 可得 a= . 2 答案:A 5.解析:由题意,f (x)是 4 为周期的奇函数, ∴f(4)=f(4+0)=f(0)=0,f(8)=f(4+4)=f(4)=0. 答案:A 6.解析:由 f(x)=0,x∈[0,2)可得 x=0 或 x=1,即在一个周期内,函数的图象与 x 轴有两个交点,在区间[0,6)上共有 6 个交点,当 x=6 时,也是符合要求的交点,故共有 7 个不同的交点. 答案:B 二、填空题 7.解析:法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x -x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1) +(-1)=-3. 法二:设 x >0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x -x, ∴f(-x)=2(-x) -(-x)=2x +x,又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x -x,∴f(1)=-2×1 -1=-3.
2 2 2 2 2 2 2

3

答案:-3 8.解析:由于 f(x)是偶函数,故当 x<0 时,f(x)=2 -4, 当 x-2<0 时,由 f(x-2)=2
-(x-2) -x

-4>0,解得 x<0;

当 x-2≥0 时,由 f(x-2)=2

x-2

-4>0,解得 x>4.

综上可知不等式解集为{x|x<0 或 x>4}. 答案:{x|x<0,或 x>4} 9.解析:∵f(x)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)<1. 2a-1 ∴f(-1)>-1.又∵f(x)的周期为 3,∴f(-1)=f(2)= >-1. a+1 即 3a >0,解得 a>0 或 a<-1. a+1

答案:(-∞,-1)∪(0,+∞) 三、解答题 10.解:由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上单调递减且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数.

?-2≤1-m≤2 ? ∴?-2≤m≤2 ?1-m>m ?
1 解得-1≤m< . 2

?-1≤m≤3 ?-2≤m≤2, 即? 1 ?m<2 ?

11.解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x +2x=x +mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知?
? ?a-2>-1, ? ?a-2≤1,
2 2 2 2

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 12.解:(1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0, 2],由已知得
4

f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.
又 f (x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x , ∴f(x)=x +2x. 又当 x∈[2,4]时, x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4) +2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4) =(x-4) +2(x-4) =x -6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x -6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,
2 2 2 2 2 2

f(1)=1,f(3)=-1.
又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+

f(2 010)+ f(2 011)+f(2 012)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f (2 012)=0.

5



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