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安徽省黄山市屯溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

安徽省黄山市屯溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年安徽省黄山市屯溪一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. (5 分)若 a 是 R 中的元素,但不是 Q 中的元素,则 a 可以是 () A.3.14 B.log48 C . ﹣5 D.

2. (5 分)当 x∈,则函数 y=f(log2x)的定义域是() A. B. C. D.

6. (5 分)函数 y= A.x 轴对称 C. 原点对称

的图象关于() B. y 轴对称 D.直线 x﹣y=0 对称

7. (5 分)已知 0<a<1,b>1 且 ab>1,则下列不等式成立的是() A.logb C. logab<loga B. logab<logb D.logb b

8. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图,则以下四个函数 y=f(﹣x) ,y=﹣f(x) ,y=f(|x|) 与 y=|f(x)|的图象分别和上面四个图的正确对应关系是()

A.①②④③

B.①②③④
2

C.④③②①

D.④③①②
x

9. (5 分)函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)对于任意的 x∈R 有 f(1﹣x)=f(1+x) ,则 f(2 ) x 与 f(3 )的大小关系是() x x x x x x A.f(3 )≥f(2 ) B.f(3 )≤f(2 ) C.f(3 )<f(2 ) D.大小不确定 10. (5 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 成立(其中 C 为常数) ,则称函数 y=f(x)在 D 上的均值为 C,现在

给出下列 4 个函数:①y=x ②y=4sinx③y=lgx④y=2 ,则在其定义域上的均值为 2 的所有 函数是下面的() A.①② B.③④ C.①③④ D.①③

3

x

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}.则?U(A∩B)=.

12. (5 分)函数 f(x)=

的单调增区间为.

13. (5 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(2)=﹣ .则函数 f(x)的解析式.

14. (5 分)设函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围为. 15. (5 分)下列五个命题: ①函数 f(x)的值域是,则函 数 f(x+1)的值域为. ②f(x)=|2﹣x|与 f(x)= 表示相同函数;

,若 f(6﹣a )>f(5a) ,

2

③幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点; 2 ④一条曲线 y=|3﹣x |和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1; ⑤函数 f(x)定义在 R 上,若 y=f(x+2)为偶函数,则 y=f(x)的图象关于直线 x=﹣2 对 称; 其中不正确的命题的序号是.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设集合 ,

,求 A∩B.

17. (12 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=x(1+x)+1, (1)求函数的解析式 (2)求函数的值域.

18. (12 分) (1)已知 a+b=12,ab=9,且 a>b,求

的值.

(2)lg5(lg8+lg1000)+

2

+



19. (12 分)已知函数 数,函数

是幂函数且在(0,+∞)上为减函 在区间上的最大值为 2,试求实数 m,a 的值.

20. (13 分)分设函数 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意实数 m、n,都有 f(m)?f(n) =f(m+n) ,且当 x<0 时,f(x)>1. (1)证明当 x>0 时,0<f(x)<1; (2)证明 f(x)是 R 上的减函数; (3)如果对任意实数 x,有 f(2ax﹣x )?f(ax ﹣2x+4)<1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 21. (14 分)设 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=﹣f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x) =x. (1)求 f(π)的值; (2)当﹣4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(﹣∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
2 2

2014-2015 学年安徽省黄山市屯溪一中高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. (5 分)若 a 是 R 中的元素,但不是 Q 中的元素,则 a 可以是 () A.3.14 考点: 专题: 分析: 解答: B. B.log48 C . ﹣5 D.

元素与集合关系的判断. 集合. 根据数据之间的关系进行判断即可. 解:A.∵3.14 既属于实数也属于有理数,∴A 错误. .∵分数既属于实数也属于有理数,∴B 错误.

C.﹣5 是实数也是有理数,∴C 错误. D. 是实数但不是有理数,∴D 正确.

故选:D. 点评: 本题主要考查数集之间的关系的判断,比较基础. 2. (5 分)当 x∈上为减函数,在 5. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是,则函数 y=f(log2x)的定义域是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 计算题. 由题意可得 log2x∈,从而可得函数 y=f(log2x)的定义域. 解:∵y=f(x)的定义域是,

∴函数 y=f(log2x)有意义?﹣1≤log 2x≤1, ∴ ≤x≤2. ∴函数 y=f(log2x)的定义域是{x| ≤x≤2}. 故选 B. 点评: 本题考查 函数的定义域及其求法,正确理解“函数 y=f(x)的定义域是,得到﹣ 1≤log2x≤1”是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.

6. (5 分)函数 y= A.x 轴对称 C. 原点对称 考点: 专题: 分析: 解答:

的图象关于() B. y 轴对称 D.直线 x﹣y=0 对称

函数的图象. 函数的 性质及应用. 判断函数图象的特点,先判断函数的奇偶性即可. 2 解:要使函数有意义,则 9﹣x ≥0,解得﹣3≤x≤3,关于原点对称, = , ,所以函数 f(x)为偶函数,

此时 y=f(x)= 因为

所以函数图象关于 y 轴对称. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数图象的判断,利用奇偶性的定义判断 函数的奇偶性是解决本题的 关键,注意先求函数的定义域,然后再化简.

7. (5 分)已知 0<a<1,b>1 且 ab>1,则下列不等式成立的是() A.logb C. logab<loga B. logab<logb D.logb b

考点: 专题: 分析: 解答:

对数的 运算性质. 函数的性质及应用. 利用对数函数的单调性求解. 解:∵0<a<1,b>1 且 ab>1,

∴b> ,y=logax 单调递减, ∴ , ∴logab<logb , >0, .

故选:B. 点评: 本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数的性 质的合理运用. 8. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图,则以下四个函数 y=f(﹣x) ,y=﹣f(x) ,y=f(|x|) 与 y=|f(x)|的图象分别和上面四个图的正确对应关系是()

A.①②④③

B.①②③④

C.④③②①

D.④③①②

考点: 函数的图象. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: y=f(﹣x)与函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称;y=﹣f(x)与函数 y=f(x)的图 象关于 x 轴对称;要得到 y=f(|x|)的图象,可将 y=f(x) ,x≤0 的部分作出,再利用偶函数的 图象关于 y 轴的对称性,作出 x<0 的图象即可;要得到 y=|f(x)|的图象,可将 y=f(x)的 图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分不变即可; 解答: 解:由对称变换规律知: y=f(﹣x)与函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; y=﹣f(x)与函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称; 要得到 y= f(|x|)的图象,可将 y=f(x) ,x≤0 的部分作出,再利用偶函数的图象关于 y 轴的 对称性,作出 x<0 的图象即可;

要得到 y=|f(x)|的图象,可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴 上方,其余部分不变即可; 故选:A. 点评: 本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化,考查学生读图能力,分析问题解决 问题的能力 ,属于基础题. 9. (5 分)函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)对于任意的 x∈R 有 f(1﹣x)=f(1+x) ,则 f(2 ) x 与 f(3 )的大小关系是() x x x x x x A.f(3 )≥f(2 ) B.f(3 )≤f(2 ) C.f(3 )<f(2 ) D.大小不确定 考点: 指数函数综合题. 专题: 综合题. 分析: 由函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)对于任意的 x∈R 有 f(1﹣x)=f(1+x)可得函数关 于 x=1 对称,由 a>0 可得函数在(﹣∞,1]单调递减,在单调递减,在,则函数 f(x+1)的 值域为. ②f(x)=|2﹣x|与 f(x)= 表示相同函数;
2 2 x

③幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点; 2 ④一条曲线 y=|3﹣x |和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1; ⑤函数 f(x)定义在 R 上,若 y=f(x+2)为偶函数,则 y=f(x)的图象关于直线 x=﹣2 对 称; 其中不正确的命题的序号是①③⑤. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于①根据复合函数的定义域判断即可 对于②化简解析式直接证明即可 对于③举个反例即可 对于④画图即可 对于⑤根据函数图象的平移即可判断. 解答: 解:对于①结论是不正确的,函数 f(x)的值域是,则函数 f(x+1)的值域为. 对于②结论是正确的,f(x)=|2﹣x|=|x﹣2|,g(x)= 故表示相同函数. 对于③结论是吧正确的,幂函数 y=x 不过(0,0)点. 对于④结论是正确的,如下图:m=0 时有 2 个公共点,0<m<3 时有 4 个公共点,m=3 时有 3 个公共点,m>3 时有 2 个公共点.
﹣1

=

=|x﹣2|,

对于⑤是不正确的,y=f(x+2)为偶函数,则 f(x+2)关于 y 轴对称,将 f(x+2)向右平移 2 个单位得 f(x) ,则 f(x)关于 x=2 对称. 故答案为:①③⑤ 点评: 本题以函数为载体考查了命题的概念,属于基础题. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设集合 ,

,求 A∩B.

考点: 指、对数不等式的解法;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 解对数方程求得 A,解指数不等式求得 B,再根据两个集合的交集的定义求得 A∩B. 解答: 解:A={ x| )=﹣1}={x|x ﹣5x+6=2}={1,4},
2

B={x|a

x﹣2



,a>1}={x|a

x﹣2

<a

7﹣2x

}={x|x﹣2<7﹣2x}={x|x<3},

∴A∩B={1}. 点评: 本题主要考查对数方程、指数不等式的解法,两个集合的交集的定义,属于中档题. 17. (12 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=x(1+x)+1, (1)求函数的解析式 (2)求函数的值域. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)运用奇函数定义求解,注意 f(0)的值. (2)根据二次函数,分段函数解析式 求解. 解答: 解: (1)∵在 R 上的奇函数 f(x) , ∴f(﹣x)=f(x) ,即 x=0,则 f(0)=0 ∵当 x>0 时,f(x)=x(1+x)+1, 2 ∴当 x<0 时,﹣x>0,f(﹣x)=(﹣x) (1﹣x)+1=x ﹣x+1, 2 f(x)=﹣x +x﹣1, (x<0)

故 f(x)=

(2)根据解析式可判断, ∵当 x>0 时,函数单调递增,f(x)>1, 当 x<0 时,函数单调递增,f(x)<﹣1, ∴函数的值域值域为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)∪{0} 点评: 本题考查了函数的性质,概念,属于容易题.

18. (12 分) (1)已知 a+b=12,ab=9,且 a>b,求

的值.

(2)lg5(lg8+lg1000)+

2

+



考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由已知求出 , ,化

=

,代入 a+b,a﹣b,

ab 的值得答案; (2)直接利用对数的运算性质化简求值. 解答: 解: (1)由 a+b=12,ab=9,且 a>b,得: , .



=

=

=

; ) +27
2

(2)lg5(lg8+lg1000)+(lg2

=lg5(3lg2+3)+3(lg2) + =3lg5?lg2+3lg5+3(lg2) + =3lg2(lg5+lg2)+3lg5+ =3+3×8=27. 点评: 本题考查了有理指数幂的运算性质,考查了对数的运算性质,是基础的计算题.
2

2

19. (12 分)已知函数 数,函数

是幂函数且在(0,+∞)上为减函 在区间上的最大值为 2,试求实数 m,a 的值.

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义和性质确定 m,由函数 值为 2,确定 a. 解答: 解:因为函数 有 解得 m=﹣1. 是幂函数且在上为减函数,所以 在区间上的最大

∴ ①当 ∴ ∴a=﹣6<0, ∴a=﹣6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’ ②当 , ,是 f(x)的单调递减区间,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’



解得 a=﹣2(舍)或 a=3(舍)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’ ③ ∴ 综合①②③可知 ,为 f(x)的单调递增区间, ,解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12’ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’

点评: 本题主要考查幂函数的定义和性质以及二次函数的图象和性质,要求熟练掌握函数 的图象和性质的应用.

20. (13 分)分设函数 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意实数 m、n,都有 f(m)?f(n) =f(m+n) ,且当 x<0 时,f(x)>1. (1)证明当 x>0 时,0<f(x)<1; (2)证明 f(x)是 R 上的减函数; 2 2 (3)如果对任意实数 x,有 f(2ax﹣x )?f(ax ﹣2x+4)<1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)赋值法先求出 f(0)的值,然后结合 x<0 时 f(x)的范围; (2)利用定义法,结合第一问的结果利用作商法比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)结合已知先将原式左边合并,将式子变成两个函数值的大小比较,再利用单调性列出不 等式. 解答: 解: (1)令 m=0,n=﹣1,则 f(0)f(﹣1)=f(﹣1) , ∵f(﹣1)>0,∴f(0)=1, 再令 m=x>0,n=﹣x 则 f(x)f(﹣x)=f(0)=1,∴ ∵﹣x<0,∴ 即当 x>0 时,0<f(x)<1 (2)设 x1<x2,则 f(x2)=f=f(x2﹣x1)f(x1) , ∵x2﹣x1>0,∴0<f(x2﹣x1)<1,即 0 R 上的减函数, (3)∵f(2ax﹣x )?f(ax ﹣2x+4)<1,∴f(2ax﹣x +ax ﹣2x+4)<f(0) , 即 f<f(0) , ∵f(x)是 R 上的减函 数,∴(a﹣1)x +2(a﹣1)x+4>0 要恒成立. 当 a=1 时,不等式 4>0 恒成立. 2 当 a>1 时,则△ = ﹣4(a﹣1)×4<0 解得 1<x<5,∴1≤x<5. 点评: 本题考查了抽象函数的单调性的判断方法,一般利用定义推证,强调“构造”的思路. 21. (14 分)设 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=﹣f(x) ,当 0≤x≤1 时,f(x) =x. (1)求 f(π)的值; (2)当﹣4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(﹣∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 f(x+2)=﹣f(x)得 f(x)是以 4 为周期的周期函数,从而可求 f(π) 的值; (2)当﹣4≤x≤4 时,确定函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,可得 f(x)的图象,从而 可求图象与 x 轴所围成图形的面积;
2 2 2 2 2





,∴f(x2)<f(x1) ,∴f(x)是

(3)根据周期性,结合函数的通项,即可得到函数 f(x)的单调区间. 解答: 解: (1)由 f(x+2)=﹣f (x)得,f(x+4)=f=﹣f(x+2)=f(x) , 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π)=f(﹣1×4+π)=f(π﹣4)=﹣f(4﹣π)=﹣(4﹣π)=π﹣4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=﹣f(x) ,得:f=﹣f(x﹣1)=f,即 f(1+x)=f(1﹣x) . 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.

当﹣4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S△ OAB=4× =4.

(3)函数 f(x)的单调递增区间为(k∈Z) ,单调递减区间(k∈Z) 点评: 本题考查函数的奇偶性与周期性,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.



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