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2014-2015-1-2高等数学重修试卷A

2014-2015-1-2高等数学重修试卷A


题号 得分

























本试卷共七道大题,满分 100 分.

注意:装订 线左侧请不 要答题,请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容,否则将 按相应管理 规定处理。 院系:

一、填空题(本大题 30 分,每空 5 分) 1 1、 lim x sin ? . x ?0 x
2、 lim
x ?1

得分:

5x ? 4 ? x ? x ?1

.

3、 y ? e ? x cos(3 ? x) ,则 dy ?

.

1 ? ? x sin 4、若 f ( x) ? ? x 2 ? ?a?x

,x ? 0 x?0

,在 x ? 0 处连续,则 a ?



5、 y ? 2x 3 ? 6x 2 ? 18x ? 7 的极大值为 专业:

.

6、

?

sin t dt ? t

.

班级:

二、求极限(本大题 12 分,每小题 6 分) 2 x ? 3 x ?1 ) 1、求 lim ( x ?? 2 x ? 1

得分:

姓名:

学号: 2、求 lim
x ?0

?

x

0

ln(1 ? t )dt x2

1

得分: 三、计算(本大题 24 分,每小题 6 分)
1、 y ? ln(x ? 1 ? x 2 ) ,求 y '' .

2 ? ? x ? ln 1 ? t 2、求由参数方程 ? 所确定的函数的一阶导数和二阶导数. y ? arctan t ? ?

3、

?e

x

dx ? e?x

4、

?

1

0

x arctan xdx

2

2014—2015 学年第 1、2 学期高等数学(上)重修考试试卷(A 卷)

得分:
四、 (本大题 8 分) 证明当 0 ? x ?

?

2

时, tan x ? x ?

1 3 x 3

注意:装订 线左侧请不 要答题,请 不要在试卷 上书写与考 试无关的内 容,否则将 按相应管理 规定处理。 院系:

得分:
专业: 五、 (本大题 8 分) 求函数 y ? ln(x ? 1) 图形的拐点及凹或凸的区间.
2

班级:

姓名:

学号:

3

六、 (本大题 10 分
设平面图形由曲线 y ? ln x, y 轴与直线 y ? ln a, y ? ln b ? b ? a ? 0? 所围成 求(1)所围图形的面积 (2)该图形绕 y 轴旋转所得的旋转体体积

得分:

七、 (本大题 8 分)

得分:

设 f ( x), g ( x) 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且 f (a) ? f (b) ? 0 , g ( x) ? 0 , 试证: 至少存在一点 ? ? (a, b) , 使得 f ?(? ) g (? ) ? g ?(? ) f (? ) .

4

2014 —2015 学年第 1、2 学期高等数学课程重修考试试卷(A 卷)答案及评分标准

本试卷共七道大题,满分 100 分。 一、填空题(本大题 30 分,每空 5 分)
1、0 . 2、2 . 3、 e ? x [sin(3? x) ? cos(3 ? x)]dx . 4、0 . 5、17 .

授 课 专业班级:

6、 ? 2cos t ? C .

二、求极限(本大题 12 分,每小题 6 分)
1、解: lim(
x ??

2 x ? 3 x ?1 2 ) ? lim(1 ? ) x ? ? 2x ? 1 2x ? 1

2 x ?1 2 x ? 2 ? 2 2 x ?1

3分

?e

x ??

2 x?2 lim 2 x ?1

? e1 ? e
2、解: lim
x ?0

3分

?

x

0

ln(1 ? t )dt x
2

? lim
x ?0

ln(1 ? x) 2x

3分

1 ? lim 1 ? x ? 2 x ?0 2 三、计算(本大题 24 分,每小题 6 分)
1、解: y ?
'

3分

1 x ? 1? x2
1 1? x2

? (1 ?

x 1? x2

)?

1 1? x2
x (1 ? x)
3 2

3分

y" ? (

)' ? ?

1 x ? ? 2 1? x 1? x2

3分

2、解:

dy ? dx

1 1? t2 1 1? t2 ? t 1? t2

?

1 t

3分

d2 y d 1 1 1 1? t2 1? t2 ? ( ) ? ? ? ? ? t dx 2 dt t dx t2 t3 dt

3分

1

3、解:

dx e x dx ? e x ? e ? x ? ? 1 ? (e x ) 2 ?? de x 1 ? (e x ) 2

3分

? arctan ex ? C
4、解:

3分

?

1

0

x arctan xdx ? [

x2 1 1 x2 arctanx]1 ? dx 0 2 2 ?0 1 ? x 2
?

3分

1 1 1 (1 ? )dx ? 8 2 0 1 ? x2 ? 1 1 ? ? ? [ arctan x]1 0 8 2 2 ?
?
四、 (本大题 8 分) 证明:设 f ( x) ? tan x ? x ?

?

?
4

?

1 2

3分

1 3 x ,则 3
3分

f ' ( x) ? sec2 x ? 1 ? x 2 ? tan2 x ? x 2 ? (tanx ? x)(tanx ? x) .

? ? ? f ( x) 在 [0, ] 上连续,在 (0, ) 内 f ' ( x) ? 0 ,因此在 [0, ] 上 f ( x) 单调增加, 2 2 2
从而当 0 ? x ?

?

2

时, f ( x) ? f (1).

3分

由于 f (1) ? 0 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 tan x ? x ?

1 ? tan x ? x ? x 3 ( 0 ? x ? ) 3 2 五、 (本大题 8 分)
解:定义域为 (??,??) y ?
'

1 3 x ? 0 ,亦即 3
2分

2x 2 - 2x 2 '' , y ? x2 ?1 ( x 2 ? 1) 2
3分 -1 0

'' 令 y ? 0 ,则 x ? ?1或 1

y

(??,?1)
?0

(?1,1)
?0

1 0

(1,??)
?0

y ''

'' 在 (??,?1) 内 y ? 0 ,所以函数在 (??,?1] 上的图形是凸的; '' 在 (?1,1) 内 y ? 0 ,所以函数在 [ ?1,1] 上的图形是凹的;

2

2014 —2015 学年第 1、2 学期高等数学课程重修考试试卷(A 卷)答案及评分标准
在 (1,??) 内 y '' ? 0 ,所以函数在 [1,??) 上的图形是凸的;

3分

x ? ?1 时, y ? ln 2 , x ? 1 时 y ? ln 2
所以拐点坐标分别为 (?1, ln 2) 和 (1, ln 2) . 2分

六、 (本大题 10 分)

A??
授 课 专业班级:


ln b

ln a

e

y

y dy ? ?e ? ? b ? a ? ? ln a

ln b

4分

V ???

ln b

ln a

?e ?
y

2

? 2ln b ? 2ln a ? e ? dy ? ? ? e ? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ?a b 2

6分

?

?

七、 (本大题 8 分)
证明: 令 F ( x) ?

f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,则有 F ?( x) ? g ( x) g 2 ( x)

3分

由已知条件可知: F ( x) 在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导 又 F (a) ? F (b) ? 0 . 由罗尔定理至少存在一个 ? ? (a, b) , 使 F (? ) ? 0 ,
'

3分 2分

因为 g ( x) ? 0 ,故 g ( x) ? 0 .于是有 f (? ) g (? ) ? g (? ) f (? ) .
2 ' '

3

4



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