haihongyuan.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学二轮专题针对训练 导数及其应用 理

高考数学二轮专题针对训练 导数及其应用 理

导数及其应用
一、选择题 1.(2011 年高考福建卷)∫0(e +2x)dx 等于( A.1 C.e
1 1

x

)

B.e-1 D.e+1
x x
2 1 1 2 0 2

解析:选 C.∫0(e +2x)dx=(e +x )|0=(e +1 )-(e +0 )=e. 2.若 f(x)=x -2x-4ln x,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞)
2

)

B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0)

4 解析:选 C.由题意知 x>0,且 f′(x)=2x-2- ,

x

2x -2x-4 即 f′(x)= >0,

2

x

∴x -x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2. 又∵x>0,∴x>2. 3.函数 f(x)的导函数为 f′(x),若(x+1)·f′(x)>0,则下列结论中正确的是( A.x=-1 一定是函数 f(x)的极大值点 B.x=-1 一定是函数 f(x)的极小值点 C.x=-1 不是函数 f(x)的极值点 D.x=-1 不一定是函数 f(x)的极值点 解析:选 D.由题意,得 x>-1,f′(x)>0 或 x<-1,f′(x)<0,但函数 f(x)在 x=-1 处 未必连续,即 x=-1 不一定是函数 f(x)的极值点,故选 D. sin x 1 ?π ? 4.曲线 y= - 在点 M? ,0?处的切线的斜率为( sin x+cos x 2 ?4 ? 1 A.- 2 C.- 解 2 2 : 选 , 1 = , 2 B.y′ = cos x B. D. 1 2 2 2 ) )

2



x+cos x - x-sin x x+cos x 2

x



1 x+cos x

2

? π 故 y′?x= 4 ?

1 ?π ? ∴曲线在点 M? ,0?处的切线的斜率为 . 2 ?4 ? 5.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( A. C. 10 3 16 3 B.4 D.6 )

解析:选 C.由?

?y= x ?y=x-2

,得其交点坐标为(4,2).

因此 y= x与 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为

? [ x-(x-2)]dx=? ( x-x+2)dx ?0 ?0
1 16 ?2 3 1 2 ? 4 2 =? x - x +2x?|0= ×8- ×16+2×4= . 3 2 2 3 2 3 ? ? 二、填空题 π 6.函数 f(x)=x+2cos x 在区间[0, ]上的单调递减区间是________. 2 解析:f′(x)=1-2sin x, 令 f′(x)≤0,即 1-2sin x≤0, 1 所以 sin x≥ . 2 π π π 又∵x∈[0, ],所以 ≤x≤ , 2 6 2

4

4

?π π ? 即函数 f(x)的单调递减区间是? , ?. ?6 2?
答案:?

?π ,π ? ? ?6 2?
x x x

7.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围是________. 解析: y′=e +a, 问题转化为“方程 e +a=0 有大于零的实数根”, 由方程解得 x=ln(-

a)(a<0),由题意得 ln(-a)>0,即 a<-1.
答案:a<-1 8.已知函数 f(x)=xe ,则 f′(x)=________;函数 f(x)图象在点(0,f(0))处的切线 方程为________. 解析:依题意得 f′(x)=1·e +x·e =(1+x)e ;f′(0)=(1+0)e =1,f(0)=0·e =0,因此函数 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 y-0=x-0,即 y=x. 答案:(1+x)e 三、解答题
x x x x
0 0

x

y=x

1 2 9.设 a>0,函数 f(x)= x -(a+1)x+aln x. 2 (1)若曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求 a 的值; (2)当 0<a<1 时,求函数 f(x)的极值点. 解:(1)由已知得 x>0,

a f′(x)=x-(a+1)+ . x
因为曲线 y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1, 所以 f′(2)=-1. 即 2-(a+1)+ =-1,所以 a=4. 2 (2)f′(x)=x-(a+1)+

a

a x x-a x


x2- a+ = x
因 0<a<1,

x+a



x-

当 x∈(0,a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(a,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增. 此时 x=a 是 f(x)的极大值点,x=1 是 f(x)的极小值点. 10.已知函数 f(x)=x +ax+bln x(x>0,实数 a,b 为常数). (1)若 a=1,b=-1,求函数 f(x)的极值; (2)若 a+b=-2,且 b<1,讨论函数 f(x)的单调性. 解:(1)函数 f(x)=x +x-ln x, 1 则 f′(x)=2x+1- ,
2 2

x

1 令 f′(x)=0,得 x1=-1(舍去),x2= . 2 1 当 0<x< 时,f′(x)<0,函数单调递减; 2 1 当 x> 时,f′(x)>0,函数单调递增; 2 1 3 ∴f(x)在 x= 处取得极小值 +ln 2. 2 4 (2)由于 a+b=-2,则 a=-2-b, 从而 f(x)=x -(2+b)x+bln x,则
2

b f′(x)=2x-(2+b)+ = x b

x-b x

x-



令 f′(x)=0,得 x1= ,x2=1. 2 ①当 ≤0,即 b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞); 2 ②当 0< <1,即 0<b<2 时,列表如下: 2

b

b

x f′(x) f(x)

?0,b? ? 2? ? ?


?b,1? ?2 ? ? ?


(1,+∞) +

? ? ? ? 所以,函数 f(x)的单调递增区间为?0, ?,(1,+∞),单调递减区间为? ,1?. ? 2? ?2 ?
b b
11.已知二次函数 h(x)=ax +bx+c(c>0),其导函数 y=h′(x)的图象如图所示,f(x) =ln x-h(x).
2

(1)求函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率; 1? ?1 (2)若函数 f(x)在区间? ,m+ ?上是单调函数,求实数 m 的取值范围; 4? ?2 (3)若函数 y=2x-ln x(x∈[1,4])的图象总在函数 y=f(x)的图象的上方,求 c 的取值 范围. 解:(1)由题知,h′(x)=2ax+b,其图象为直线,且过 A(2,-1)、B(0,3)两点,
? ?4a+b=-1 ∴? ?b=3 ?
2

,解得?

? ?a=-1 ?b=3 ?

.

∴h(x)=-x +3x+c. ∴f(x)=ln x-(-x +3x+c)=x -3x-c+ln x. 1 ∴f′(x)=2x-3+ ,
2 2

x

1 ∴f′(1)=2-3+ =0, 1 所以函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为 0. (2)由题意可知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

1 2x -3x+1 由(1)知,f′(x)=2x-3+ = =

2

x- x

x-

x

x

.

1 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1. 2 当 x 变化时,f(x)、f′(x)随 x 的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

?0,1? ? 2? ? ?


1 2 0 极大值

?1,1? ?2 ? ? ?


1 0 极小值

(1,+∞) +

? 1? ∴f(x)的单调递增区间为?0, ?,(1,+∞). ? 2? ? ? f(x)的单调递减区间为? ,1?.
1 ?2

?

1? ?1 要使函数 f(x)在区间? ,m+ ?上是单调函数, 4? ?2 1 1 ? ?2<m+4 则? 1 ? ?m+4≤1

1 3 ,解得 <m≤ . 4 4

?1 3? 故实数 m 的取值范围是? , ?. ?4 4?
(3)由题意可知,2x-ln x>x -3x-c+ln x 在 x∈[1,4]上恒成立, 即当 x∈[1,4]时,c>x -5x+2ln x 恒成立 设 g(x)=x -5x+2ln x,x∈[1,4],则 c>g(x)max. 2 2x -5x+2 易知 g′(x)=2x-5+ = =
2 2 2 2

x- x

x-

x

x

.

1 令 g′(x)=0 得,x= 或 x=2. 2 当 x∈(1,2)时,g′(x)<0,函数 g(x)单调递减;当 x∈(2,4)时,g′(x)>0,函数 g(x) 单调递增. 而 g(1)=1 -5×1+2ln 1=-4,g(4)=4 -5×4+2ln 4=-4+4ln 2, 显然 g(1)<g(4), 故函数 g(x)在[1,4]上的最大值为 g(4)=-4+4ln 2, 故 c>-4+4ln 2. ∴c 的取值范围为(-4+4ln 2,+∞).
2 2


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 海文库 haihongyuan.com
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com