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自主招生数学辅导四习题

自主招生数学辅导四习题


习题四
一、 选择填空题
1.已知圆 O 的半径为 1,半径 OA 、 OB 夹角为 ? ? 0 ? ? ? ? ? , ? 为常数,点 C 为圆 上动点,若 OC ? xOA ? yOB ( x, y ? R ),则 x ? y 的最大值为 _________ . 2.以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数轴上截取与闭区间 [ 0, 4] 对应 的线段,对折后(坐标 4所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 4 个单位长度的线段,这一 过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的坐标 1、3 变成 2,原来的坐标 2 变 成 4, 等等) .那么原闭区间[ 0, 4] 上 (除两个端点外) 的点, 在第 n 次操作完成后 ( n ? 1) , 恰好被拉到与 4 重合的点所对应的坐标为___________________________.
2 3 已知函数 y ? sin x ,则(

?
) B.有最小正周期为 ? D.无最小正周期
2

?
2

?
4

0

A.有最小正周期为 2?
?

C.有最小正周期为 的 和是( ) A.2 . 的三 点为 ( ) A.A、B、D

2

4 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9, 则 a 的最大值与最小值
2

B.1

C.0

D.-1

5 已知向量 a 、 b ,设 AB ? a ? 2b , BC ? ?5a ? 6b , CD ? 7a ? 2b ,则一定共线

? ? m ? ? 的一个充分条件是( D ) 6 设 ? 、 、 为平面, m 、 n 为直线,则 ? ? ? , ? ? ? ? n, m ? n (缺少条件 m ? ? ) A.

B.A、B、C

C.B、C、D

D.A、C、D.

? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? (当 ? ∥ ? ? ? ? 时, m ∥ ? ) ? ? ?, ? ? ? ,m ?? ? , ? , ? 两两垂直, ? ? ? ? m 时, m ? ? ) C. (当 n ? ?, n ? ? , m ? ? D.
B. 7 若

m, n ? ? x x ? a2 ? 102 ? a1 ? 10 ? a0 ?

且 m ? n ? 636 ,则实数对 表示平面上不同点的个数为 A.60 个 B.70 个 C.90 个 D.120 个 8 已知

? m, n?

,其中

ai ??1, 2,3, 4,5,6,7?



i ? 0,1, 2 ,并
( )

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? ? ? x ?2007 ?x ?1 ?x ?2 ? ? ? ? ? x ? 2007 ( x ? R)
( )

f ( a2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则 a 的值有

A.2 个 9 设

Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为

B.3 个

C.4 个

D.无数个

.

1? 10 设 f ( x) ? loga ( x ? b)(a ? 0, 且a ? 1) 的图象经过点 ? 2, ,它的反函数的图象经过点

8? ? 2, ,则

a ? b 等于

二、 解答题
1 已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q ,与 ?ABC 外接圆相切于 D , .求证: ?POQ ? 2?MDC . M 是 PQ 的中点(如图)

2 已知 1 ? ai ? 7 , i ? 1,2,?, n ,其中正整数 n ? 2 . (1)求证:对于一切的正整数 i ,都
n

1 1 2 ? ? ; 2 3 a ? 1 7 ? ai
2 i

(2)求 S ?

?
i ?1

1 (a i2 ? 1)( 7 ? ai2?1 )

的最小值,其中约定 an?1 ? a1 .

3(1)设 x ? 0, y ? 0, 求证:

x2 3x ? y ? ; x? y 4 x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? . x? y y?z z?x 2
a (1 ? a n ). 1? a

(2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0, 求证:

4 已知数列 {a n }满足 a1 ? a (a ? 0, 且a ? 1), 前n项和为 S n , 且S n ?

记 bn ? a n lg | a n | (n ? N ),当a ? ?
*

7 时, 问是否存在正整数 m, 使得对于任意正整数 n, 3

都有 bn ? bm ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. 5 如图, 四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ,?DCO 的平分线 CQ 交线段 OD 于

OA ? 连接 AQ , 作 OM ? BC于M,ON ? AQ于N . 且 P 为 AB 边的中点, Q,
求证: PM ? PN .

OB ? OD OC ? CD

D

Q
N
A

C O
M

P

B



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