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人大附中2013—2014学年度第一学期高二年级数学选修2—1期末试卷

人大附中2013—2014学年度第一学期高二年级数学选修2—1期末试卷


人大附中 2013—2014 学年度第一学期高二年级数学 选修 2—1 模块考核试卷
2014 年 1 月 23 日

制卷人:曲兆军 吴中才 审卷人:梁丽平 成绩 说明:本试卷共三道大题 20 道小题,共 6 页;满分 100 分,考试时间 90 分钟;请在密封线内填写个 人信息. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每道小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”第 1-10 题的相应位置上. 1.双曲线 x2 ? A.2

y2 ? 1 的离心率为( 4
B. 2

) C. 3 ) D. 5

2.已知命题: p : ?x ? R , x 2 ? 0 ,则 ?p 为( A. ? x ? R , x 2 ? 0 C. ?x ? R , x 2 ≥ 0

B. ? x ? R , x 2 ≥ 0 D. ?x ? R , x 2 ? 0 ) D.-10 )

3.已知 a ? ? 5, 1,? 3? , b ? ?x, ? 2, 6 ? ,若 a ? b ,则 x 的值为( A.4 B.-4 C.10 4. “双曲线渐近线为 y ? ? x ”是“双曲线焦点在 x 轴上”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 5.椭圆

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 x2 ) ? ? 1 与双曲线 ? y 2 ? 1 的焦点相同,则 m 的值为( 10 ? m 9 3 A.1 B .3 C.1 或-3 D.3 或-5 ??? ? ???? ???? 6.如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点.若 AB ? a ,AD ? b ,AA1 ? c ,
???? ? 则下列向量中与 BM 相等的向量是(



1 1 A. ? a ? b ? c 2 2 1 1 C. ? a ? b ? c 2 2

1 1 B. a ? b ? c 2 2 1 1 D. a ? b ? c 2 2 1 ,则动点 P 的轨迹为 2

1? ,B ? ?1,? 1? 连线的斜率的积为定值 ? 7.已知动点 P 与平面上两定点 A ?1,

( ) A.椭圆去掉两个点 C.椭圆去掉四个点

B.双曲线去掉两个点 D.双曲线去掉四个点 )

??? ? ???? ? 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P 为平面 A1 B1C1 D1 内一动点, 则 AP ? CC1 的结果是 (

A.0

B .1

C.-1

D.不能确定

9.已知点 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,直线 l 经过点 F 且与抛物线相交于 A ,B 两点,则 AB 的最小值 为( A.1 ) B .2 C .3 D.4

BC 按顺 10.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90?,AB ? AC ? AA 1 ? 1 ,将平面 BCC1 B1 绕着直线

时针方向旋转至水平状态 BCC1 ?B1 ? (如图) ,在这一过程中,直线 A1C 与旋转平面所成角的最大值是 ( )

π π π π B. C. D. 6 4 3 2 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上.
A. 11.抛物线 x 2 ? 4 y 的准线方程为____________. 12.已知 a ? ? 2 ,? 2 , 1? ,则与 a 同向的单位向量的坐标为____________.

??? ? ? 1 ??? 13.已知点 A ? 4 ,2 ,? 1? ,B ? 6 ,? 1,4 ? ,点 P 满足 AP ? ? PB ,则 P 点坐标为______. 2
14.已知点 P 为双曲线 x2 ?

y2 ? 1 上一点, F1 ,F2 为双曲线的两个焦点,若 △PF1 F2 为等腰三角形,则 3

△PF1 F2 的面积为____________.

15.在抛物线 y 2 ? 16 x 内,通过点(2,1)且被该点平分的弦所在的直线方程是____________.

? x? ? y? 16.已知曲线 C 的方程是 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 8 ,给出下列三个结论: x? ? y? ?
①曲线 C 与两坐标轴有公共点; ②曲线 C 既是中心对称图形,又是轴对称图形; ③若点 P ,Q 在曲线 C 上,则 PQ 的最大值是 6 2 . 其中,所有正确结论的序号是______. 三、解答题:本大题共 4 小题,第 17、18 题各 8 分,第 19、20 题各 10 分,共 36 分.解答应写出文 字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 8 分) 如 图 , 正 四 面 体 P ? ABC 的 所 有 棱 长 均 为 1 , E 、F 分 别 是 棱 AB 、PC 的 中 点 . 设 ??? ? ??? ? ??? ? PA ? a ,PB ? b ,PC ? c .

2

2

??? ? ??? ? (Ⅰ)用 a ,b ,c , 表示 PE 和 BF ;

??? ? ??? ? (Ⅱ)求 PE ? BF 的值.

18. (本题满分 8 分)

x2 y 2 如图, 斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 W : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点 F ?1,0? , 且与椭圆 W 相交于 A 、B a b 1 两点,已知椭圆 W 的离心率为 . 2 (Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程; (Ⅱ)求 △ AOB 的面积.

19. (本题满分 10 分)

??? ? ???? 如图,在底面是正三角形的三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AB ? 1,PB ? PC ? 2 ,PD ? DC .
(Ⅰ)求 BD 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 D ? AB ? C 的余弦值.

20. (本题满分 10 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 和抛物线 C2 : y2 ? 2 px ? p ? 0? 有公共焦点 F ?1,0? ,过焦点 F 的 2 a b

直线 l 与椭圆 C1 相交于 A ,B 两点,与抛物线 C2 相交于 C ,D 两点,如图. (Ⅰ)写出抛物线 C2 的标准方程;

??? ? 1 ??? ? (Ⅱ)若 CF ? FD ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 落在以 O 为圆心、以 2b 为半径的圆内(包括圆周) ,且
AC ? BD ,求椭圆 C1 的长轴长的最小值.



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