2019_2020学年高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质2第1课时课后习题新人教A版必修4

第 1 课时 正弦函数、余弦函数的性 质(一)
课后篇巩固探究

1.函数 f(x)=-2sin

的最小正周期为( )

A.6

B.2π

C.π

D.2

解析 T= =2. 答案 D 2.下列函数中,是奇函数的为( )

A.y=sin

B.y=sin

C.y=3x-sin x D.y=x2+sin x

解析 C 选项中,令 f(x)=3x-sin x,则 f(-x)=3·(-x)-sin(-x)=-3x+sin x=-f(x),故函数是奇函数.

答案 C

3.已知函数 f(x)=sin 2x,则下列关于 f(x)的叙述正确的是( )

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数

C.f(x)的最小正周期为 2π

D.f(x)的最小值不是-1

解析 f(x)是奇函数;f(x)的最小正周期为 T= =π ;f(x)的最大值是 1,最小值是-1.故选 A. 答案 A 4.若函数 f(x)=sin(3x+φ )(0≤φ <π )是一个偶函数,则 φ 等于( )

A.0

B.

C.

D.

解析因为 sin 答案 B

=cos 3x,而函数 y=cos 3x 是偶函数,所以 φ = .

5.设 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为 2π 的函数,且有 f(x)=

则

f

=( )

A.

B.-

C.0

D.1

解析因为 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为 2π 的函数,所以 f

=f

又因为 0≤ ≤π ,

=f .

所以 f 答案 A

=f =sin

.

6.函数 y=cos

(k>0)的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值应是( )

A.10

B.11

C.12

D.13

解析∵T=

≤2,∴k≥4π .

又 k∈Z,∴正整数 k 的最小值为 13. 答案 D

7.已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=lg x,设 a=f ,b=f ,c=f ,则 ()

A.a<b<c

B.b<a<c

C.c<b<a

D.c<a<b

解析 a=f =f

=f

=-f ,

b=f =f

=f

=-f ,

c=f =f

=f .

∵当 0<x<1 时,f(x)=lg x,

∴c<0,0<a<b.

答案 D

8.函数 y=4sin(2x+π )的图象关于

对称.

解析 y=4sin(2x+π )=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.

答案原点

9.函数 y=cos

的最小正周期是

.

解析因为 y=cos

,

所以 T= =2π × =4. 答案 4

10.已知函数 f(x)=sin ω x+ (ω >0),若函数 f(x)的一个零点到最值点距离的最小值为 ,则 ω

的值为

.

解析相邻的最值点与零点之间的区间长度为 ,也是函数 f(x)的一个零点到最值点距离的最小值,从

而

,所以 T= ,ω =

.

答案

11.

导学号 68254035 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,4]

时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:

①f

<f

;②f

<f

;③f(sin 1)<f(cos 1).其中一定成立的是

号)

解析当 0≤x≤1 时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,

∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,

∴f(x)在[0,1]上是减函数.

.(填序

∵1>sin >cos >0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos >sin >0,∴f

<f

,f(sin 1)<f(cos

1),f

>f

.

答案②③

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,若对任意的 x≥0,都有 f(x+2)=时,f(x)=log2(x+1),试求 f(-2 017)+f(2 019)的值.

,且当 x∈[0,2π )

解∵当 x≥0 时,f(x+2)=- , ∴f(x+4)=f(x),即 4 是 f(x)(x≥0)的一个周期.

∴f(2 019)=f(3)=- =-1. 又 f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1, ∴f(-2 017)+f(2 019)=0.

13.已知函数 y= sin x+ |sin x|.

(1)画出这个函数的简图; (2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
解(1)y= sin x+ |sin x|
= 函数图象如图所示.

(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔 2π 重复一次,故函数的最小正周期是 2π .

14.

导学号 68254036 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最

小正周期是 π ,且当 x∈ 时,f(x)=sin x. (1)求当 x∈[-π ,0]时,f(x)的解析式; (2)画出函数 f(x)在[-π ,π ]上的简图;

(3)求当 f(x)≥ 时 x 的取值范围. 解(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).

∵当 x∈ 时,f(x)=sin x,

∴当 x∈

时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.

又当 x∈

时,x+π ∈ ,

f(x)的周期为 π ,∴f(x)=f(π +x)=sin(π +x)=-sin x.

∴当 x∈[-π ,0]时,f(x)=-sin x.

(2)如图.

(3)∵在[0,π ]内,当 f(x)= 时,x=

,

∴在[0,π ]内,f(x)≥ 时,x∈

.

又 f(x)的周期为 π ,

∴当 f(x)≥ 时,x∈

,k∈Z.