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2019教育【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第4讲精品英语_图文

2019教育【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学(理)配套课件:第3章 第4讲精品英语_图文

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第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第三章 第4讲

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

第三章 第4讲

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1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数y=

Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影
响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会 用三角函数解决一些简单的实际问题.

第三章 第4讲

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1个必记提醒 在用“代点法”求φ时,若条件中既有最值点,也有零 点,应代入最值点,这样可得到一个确定的φ值.
2点必知变换 1. 平移变换:①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y 轴平移,按“上加下减”法则. 2. 伸缩变换:①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短 1 (ω>1)为原来的 ω 倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标 y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).
第三章 第4讲
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3项必须注意 1. 要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图 象. 2. 要注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先 利用诱导公式化为同名函数. 3. 由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平 φ 移的单位数应为| |,而不是|φ|. ω

第三章 第4讲

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课前自主导学

第三章 第4讲

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1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+ 振 相 位 ωx +φ 初 相 φ

φ)(A>0,ω>0),x 幅 ∈[0,+∞)表示 一个振动量时 A

周期

频率 1 f=T= ____

T= ____

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函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图

象 如 图 , 试 写 出 函 数 的 解 析 式 ________ , 它 的 振 幅 为
________,周期为________,初相为________.

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2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五 个关键点,如下表所示
x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) ______ ______ ______ ______ ______ 0 0 π 2 A π 0 3π 2 -A 2π 0

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π 用五点法作函数y=sin(x+ )在一个周期内的图象时, 6 主要确定的五个点是________,________,________, ________,________.

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π (2)如图是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的一段图 2 象,则函数f(x)的解析式为__________.

第三章 第4讲

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3.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的 步骤

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(1)y=sin(x-

π 3

)是由y=sinx的图象向________平移

________个单位得到的. (2)y=sin(2x+ π 3 )是由y=sin2x的图象向____平移

________个单位得到的. (3)y=cosx图象上点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y π =________,然后再向右平移 个单位得到y=________. 6
第三章 第4讲
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2π ω 1. ω 2π 2 2 填一填:y=2sin(2x+3π) 2 π 3π π -φ 2 φ 2.-ω ω π-φ ω 3 π-φ 2 ω 2π-φ ω

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π π 5 4 填一填:(1)(- ,0) ( ,1) ( π,0) ( π,-1) 6 3 6 3 11 3π ( 6 π,0) (2)y=sin(3x- 4 ) π π 1 1 π 3.填一填:(1)右 (2)左 (3)cos x cos( x- ) 3 6 2 2 12

第三章 第4讲

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核心要点研究

第三章 第4讲

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例1 [2013· 无锡模拟]f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y= π f(x)图象的一条对称轴是直线x=8. (1)求φ; (2)画出函数y=f(x)在区间上[0,π]的图象.

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[审题视点]

(1)根据题目给出的图象特征对称轴,确定参

数φ的值;(2)采用“五点法”作图,应注意定义域为[0,π].同 时注意列表时要列端点值.
[解] π (1)∵x= 是函数y=f(x)的图象的对称轴, 8

π ∴sin(2×8+φ)=± 1, π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. 4 2

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3π ∵-π<φ<0,∴φ=- 4 . 3π (2)由y=sin(2x- 4 )知

x

0

π 8

3π 8 0

5π 8 1

7π 8 0

π 2 -2

2 -1 y - 2

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故函数y=f(x)在区间[0,π]上图象如下图所示.

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1.“五点法”作图的关键是确定关键点: 1)当画函数y=Asin(ωx+φ)在x∈R上的图象时,一般令 π 3 ωx+φ=0, 2 ,π, 2 π,2π,即可得所画图象的特殊点坐 标.

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2)当画函数y=Asin(ωx+φ)在某个指定区间上的图象时,一般 先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内选取特殊点,连同

区间的两端点一起列表.
2. 连线时要把握线条的凹凸趋势. 3. 用图象变换法作图仅能作出简图.

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[变式探究] [2013· 武中期中]已知函数f(x)=sinx+ cosx. (1)求f(x)的周期和振幅. (2)用五点法作出f(x)在一个周期内的图象.
1 3 解:(1)y=sinx+ 3cosx=2( sinx+ cosx) 2 2 π =2sin(x+3) ∴函数f(x)的周期为2π,振幅为2.

3

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(2)列表如下:

x π x+3 π y=2sin(x+3)

π - 3 0 0

π 6 π 2 2

2 π 3 π 0

7 π 6 3 2π -2

5 π 3 2π 0

第三章 第4讲

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π 描点连线即得y=2sin(x+3)在一个周期的图象.

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例2

[2012·浙江高考]把函数y=cos2x+1的图象上所有点

的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单

位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是(

)

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[审题视点] 完成.

利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步

[解析] y=cos2x+1通过伸缩、平移变换后得到y=cos(x+

1),对应图象为A项.
[答案] A

第三章 第4讲

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在进行三角函数图象的左右平移时,应注意以下几点:一要 弄清是平移哪个函数图象,得到哪个函数的图象;二要注意

平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先用诱导
公式化为同名函数;三是由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx +φ)的图象时,有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩 后平移”.

第三章 第4讲

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[变式探究]

π 已知函数f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的 4

最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将 y=f(x)的图象( )

π π A.向左平移8个单位长度 B.向右平移8个单位长度 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 4 4 答案:A

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2π π 解析:由题意得 ω =π,ω=2,∴f(x)=sin(2x+ 4 ),g(x) =cos2x. 将函数y=f(x)的图象向左平移 π π π sin[2(x+8)+4]=sin(2x+2)=cos2x. π 8 个单位长度时,y=

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例3

[2012· 湖南卷]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,

π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2

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(1)求函数f(x)的解析式;
? π? ? π? (2)求函数g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增区间. ? ? ? ? ?11π 5π? [解] (1)由题设图象知,周期T=2? 12 -12?=π, ? ?

?5π ? 2π 所以ω= =2,因为点?12,0?在函数图象上, T ? ? ? ? ?5π ? 5π 所以Asin?2×12+φ?=0,即sin? 6 +φ?=0. ? ? ? ?

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π 5π 5π 4π 又因为0<φ<2,所以 6 < 6 +φ< 3 , 5π π 从而 6 +φ=π,即φ=6. 又点(0,1)在函数图象上, π 所以Asin =1,得A=2. 6
? π? 故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

第三章 第4讲

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? ? π ? π? ? ? (2)g(x)=2sin?2 x-12?+6?- ? ? ? ? ? ? ? π ? π? ? ? 2sin?2 x+12?+6? ? ? ? ? ? ? π? =2sin2x-2sin?2x+3? ? ? ?1 =2sin2x-2? sin2x+ ?2 ? ? 3 ? cos2x? 2 ?

=sin2x- 3cos2x
? π? =2sin?2x-3?. ? ?
第三章 第4讲
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π π π π 5π 由2kπ- 2 ≤2x- 3 ≤2kπ+ 2 ,得kπ- 12 ≤x≤kπ+ 12 ,k ∈Z,
? π 5π? 所以函数g(x)的单调递增区间是 ?kπ-12,kπ+12? ,k∈ ? ?

Z.

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π 奇思妙想:本题将图象改为下图,|φ|< ,问题不变, 2 该如何解答?

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11 5 解:(1)T=2( π- π)=π,ω=2, 12 12 5 5 π ∵sin(2×12π+φ)=1,∴6π+φ=2, π π ∴φ=- ,∴f(x)=sin(2x- ). 3 3

第三章 第4讲

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π π π π π (2)g(x)=sin[2(x- )- ]-sin[2(x+ )- ]=sin(2x- ) 12 3 12 3 2 π 3 1 3 1 -sin(2x- 6 )=-cos2x- 2 sin2x+ 2 cos2x=-( 2 sin2x+ 2 π π π 3 cos2x)=-sin(2x+6),由2kπ+2≤2x+6≤2kπ+2π, π 2 π 得kπ+ ≤x≤kπ+ π,∴g(x)的递增区间是[kπ+ ,kπ 6 3 6 2 + π],k∈Z. 3

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根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主 要从以下四个方面来考虑: ①A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A= 最高点-最低点 ; 2

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②k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k= 最高点+最低点 ; 2 ③ω的确定:结合图象,先求出周期T,然后由T= (ω>0)来确定ω; 2π ω

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④φ的确定:ⅰ)代入法:把图象上一个已知点代入解析式(此 时,A,ω,k已知),一般代最值点,代其它点时要注意所代

点处于上升区间还是下降区间上.
ⅱ)五点法:往往寻找“五点法”中的点为突破,具体如下: 起始点(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;

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π 最高点时,ωx+φ= 2 ;中间点(即图象下降时与x轴的交点) 3 时,ωx+φ=π;最低点时,ωx+φ= 2 π;终止点时ωx+φ= 2π.

第三章 第4讲

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[变式探究] [2013· 海淀区检测]函数f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所示 (1)求ω,φ; (2)求函数图象的对称轴及对称中心.

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3 11 π 3 解:(1)由图象知A=1,4T=12π-6=4π, 2π ∴T=π,∴ω= =2, T π 此时,f(x)=sin(2x+φ),又f(x)图象过( ,1). 6 π π ∴2×6+φ=2kπ+2,k∈Z, π 解得φ=2kπ+6,k∈Z,

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π π ∵|φ|< ,∴φ= . 2 6 π (2)由(1)知f(x)=sin(2x+6), π π ∴2x+6=kπ+2,(k∈Z)得 kπ π x= + (k∈Z). 2 6

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π 又由2x+ =kπ,(k∈Z)得 6 kπ π x= 2 -12(k∈Z). kπ π ∴函数f(x)的对称轴为x= 2 +6(k∈Z), kπ π 对称中心为( - ,0)(k∈Z). 2 12

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例4 [2012· 重庆高考]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 π A>0,ω>0,-π<φ≤π)在x= 6 处取得最大值2,其图象与x轴 π 的相邻两个交点的距离为2. (1)求f(x)的解析式; 6cos4x-sin2x-1 (2)求函数g(x)= 的值域. ? π? f?x+6? ? ?
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[解] ω=2.

2π (1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即 ω =π,解得

π 因f(x)在x=6处取得最大值2,所以A=2.
? ? π π π 从而sin?2×6+φ?=1,所以 +φ= +2kπ,k∈Z. 3 2 ? ?

π 又由-π<φ≤π得φ= . 6

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? π? 故f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

6cos4x-sin2x-1 6cos4x+cos2x-2 (2)g(x)= ? π? = 2cos2x 2sin?2x+2? ? ?
? ?2cos2x-1??3cos2x+2? 3 2 1? 2 = = cos x+1?cos x≠2?. 2 2 2?2cos x-1? ? ? ? 7? 1 因cos x∈[0,1],且cos x≠ 2 ,故g(x)的值域为 ?1,4? ∪ ? ?
2 2

? 7 5? ? , ?. ? 4 2?
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面对正弦、余弦型曲线,正确地获得所需要的信息,这是一 个数学基本能力;面对复杂函数的性质研究,应具有对复杂

关系式化简的意识与能力,化简的目标要明确,即所谓合一
思想;求函数最值,要注意定义域区间对函数最值的影响.

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[变式探究] [2013· 福建厦门模拟]已知向量a=(sinx, 2 3sinx),b=(2cosx,sinx),定义f(x)=a· b- 3. (1)求函数y=f(x),x∈R的单调递减区间; π (2)若函数y=f(x+θ)(0<θ<2)为偶函数,求θ的值.

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解:f(x)=2sinxcosx+2

3

sin2x-

3

=sin2x+

1-cos2x π 2 3· - 3=sin2x- 3cos2x=2sin(2x- ). 2 3 π π 3π (1)令2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 5π 11π 解得f(x)的单调递减区间是[kπ+12,kπ+ 12 ],k∈Z.

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π (2)f(x+θ)=2sin(2x+2θ-3), 根据题意可知y=f(x+θ)(0<θ< π sin(2θ- )=± 1, 3 π π kπ 5π ∴2θ-3=kπ+2,θ= 2 +12,k∈Z. π 5 又∵0<θ<2,∴θ=12π. π 2 )在x=0处取最值,

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【选题· 热考秀】 π π [2012· 天津高考]已知函数f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )+ 3 3 2cos2x-1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; π π (2)求函数f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值.
第三章 第4讲
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[规范解答]

π π π (1)f(x)=sin2xcos 3 +cos2xsin 3 +sin2xcos 3 π 2 (sin2xcos + 4

π -cos2xsin +cos2x=sin2x+cos2x= 3

π π 2π cos2xsin4)= 2sin(2x+4),函数f(x)的最小正周期为T= 2 = π.

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π π π π 3π π π π (2)-4≤x≤4?-4≤2x+4≤ 4 , 所以当 2x+4=2(x=8) 时,f(x)max= 2; π π π 当 2x+4=-4(x=-4)时,f(x)min=-1.

第三章 第4讲

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【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 在具体问题中,我们面对的往往不是简单的正弦函数、余

弦函数而是需要变形处理的三角函数,这些三角函数式大都可
以转化成形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数加以解决;化简时,主 要应用三角恒等变换知识进行等价变形,然后根据函数y= Asin(ωx+φ)+k的有关性质解题.

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No.2 角度关键词:模板构建 第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式. 第二步:构造f(x)= b cosx· 2 2). a +b 第三步:和差公式逆用f(x)= a2+b2 sin(x+φ)(其中φ为 辅助角). a +b
2 2

(sinx·

a a2+b2



第三章 第4讲

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第四步:利用f(x)= a2+b2 sin(x+φ)研究三角函数的性 质. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规 范. ①化简时公式的准确应用是灵魂;②研究三角函数性 质时注意整体思想的应用.

第三章 第4讲

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经典演练提能

第三章 第4讲

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1.[2012· 安徽高考]要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只 要将函数y=cos2x的图象( A. 向左平移1个单位 1 C. 向左平移 个单位 2 ) B. 向右平移1个单位 1 D. 向右平移 个单位 2

答案:C

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1 1 解析:y=cos2x向左平移 个单位得y=cos2(x+ )= 2 2 cos(2x+1),选C项.

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π 2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,|φ|< )的 2 最小正周期是π,且f(0)= 3,则( 1 π A.ω=2,φ=6 π C.ω=2,φ=6
答案:D

)

1 π B.ω=2,φ=3 π D.ω=2,φ=3

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2π 解析:T= ω =π,ω=2,当x=0时有2sinφ= 3, π π ∵|φ|<2,∴φ=3,故选D项.

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π 3.[2012· 课标全国高考]已知ω>0,0<φ<π,直线x= 和x 4 5π = 是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ 4 =( ) π A. 4 π C. 2 答案:A π B. 3 3π D. 4

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5 π π 解析:T=2(4π-4)=2π,∴ω=1,∴x+φ=2+kπ,当 π π π x=4时,φ=4+kπ,∵0<φ<π,∴φ=4,选A项.

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4.[2011· 辽宁高考]已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0, π π |φ|<2),y=f(x)的部分图象如图,则f(24)=( A.2+ 3 3 C. 3 B. 3 D.2- 3 )

答案:B
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3π π π 解析:由题中的图象可知:T=2( - )= ,∴ω= 8 8 2 2, π π ∴2×8+φ=kπ+2(k∈Z). π π π 又|φ|< 2 ,∴φ= 4 .又f(0)=1,∴Atan 4 =1,得A=1,∴ π f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π ∴f(24)=tan(12+4)=tan3= 3.
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π 5. 关于函数f(x)=4sin(2x-3)(x∈R),有下列命题: 4π ①y=f(x+ 3 )为偶函数; ②要得到函数g(x)=-4sin2x的图象,只需将函数f(x)的 π 图象向右平移 个单位长度; 3

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π ③函数y=f(x)的图象关于直线x=-12对称; 5π ④函数y=f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为[0, ]和 12 11π [ 12 ,2π]. 其中正确命题的序号为________.
答案:②③

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4 8 π 7 解析:y=f(x+ 3 π)=4sin(2x+ 3 π- 3 )=4sin(2x+ 3 π), π 非奇非偶函数,①错误;函数f(x)的图象向右平移3个单位长 π π 度,得到函数f1(x)=4sin[2(x- 3 )- 3 ]=-4sin2x的图象,② π π π 正确;当x=-12时,2x-3=-2,使函数f(x)取得最小值, π 函数y=f(x)关于直线x=- 对称,③正确;由函数f(x)的单 12 π 5 调递增区间为[kπ-12,kπ+12π],k∈Z,知④错误.
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