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高考数学二轮专题针对训练 数列求和及综合应用 理

高考数学二轮专题针对训练 数列求和及综合应用 理

数列求和及综合应用
一、选择题 1.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3a5=4,则数列{log2an}的前 7 项和等于( A.7 B.8 C.2 D.2
7

)

8

解析:选 A.在各项均为正数的等比数列{an}中,由 a3a5=4,得 a4=4,a4=2. 设 bn=log2an,则数列{bn}是等差数列,且 b4=log2a4=1. 所以{bn}的前 7 项和 S7=

2

b1+b7
2

=7b4=7.
n

2.已知数列{an}的通项公式是 an=(-1) (n+1),则 a1+a2+a3+…+a10=( A.-55 B.-5 C.5 D.55

)

解析:选 C.∵an=(-1) (n+1),∴a1+a2+a3+…+a10=-2+3-…-10+11=(-2+ 3)+(-4+5)+(-6+7)+(-8+9)+(-10+11)=1+1+1+1+1=5,故选 C. 3.等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n,Sn)在 以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )

n

解析:选 C.∵Sn=na1+

n n-
2

d? d ? d,∴Sn= n2+?a1- ?n,又 a1>0,公差 d<0,所以点(n,
2

?

2?

Sn)所在抛物线开口向下,对称轴在 y 轴右侧.
4.已知函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, 若数列? A. B. C.
? ?f
2

1

n

? ?的前 n 项和为 Sn,则 S2011 的值为( ?

)

2009 2010 2011 2012 2008 2009

D.

2010 2011
2

解析:选 B.∵函数 f(x)=x +bx 的图象的切线的斜率为 f′(x)=2x+b, ∴函数 f(x)=x +bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 的斜率为 k=2+b. ∵切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, ∴2+b=3,即 b=1. ∴f(x)=x +x, ∴ 1
2 2

f n



1 = n +n n
2

1 n+

1 1 = - , n n+1

? 1? ?1 1? ? 1 - 1 ? ∴S2011=?1- ?+? - ?+…+? ? ? 2? ?2 3? ?2011 2012?
1 2011 =1- = . 2012 2012 5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = 数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选 D.由等差数列前 n 项和的性质知, )

An 7n+45 an ,则使得 为整 Bn n+3 bn

an A2n-1 14n+38 7n+19 12 = = = =7+ , bn B2n-1 2n+2 n+1 n+1
故当 n=1,2,3,5,11 时, 为整数,故选 D. 二、填空题 6.已知数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2,且 an
+1 n+2

an bn

a ≠1,则 a1+a2+a3=________,S2010=________.
解析:将 a1=1,a2=2 代入计算得 a3=3, ∴a1+a2+a3=1+2+3=6. 则 a2·a3·a4=a2+a3+a4, 即 6a4=5+a4. ∴a4=1,a3·a4·a5,a3+a4+a5, 即 3a5=3+1+a5,∴a5=2. 可知数列{an}是以 3 为周期循环出现 1,2,3 的数列. 故 S2010=(1+2+3)×670=4020.

答案:6

4020

7.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 5 10 9 … 则第 7 行中的第 5 个数是________. 解析:第 7 行是奇数行,则它的最后一个数值为 1+2+…+7=28,而且第七行共有 7 个 数,逆推可得第 5 个数是 26.故填 26. 答案:26 8.(2011 年高考陕西卷)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵, 相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出 发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 解析:假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列,使每位同学的往返所走的路程和最小, 则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁.此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项,20 为公差的等差数列,所有同学往返的总路程为 S=9×20+ 2000. 答案:2000 三、解答题 9.(2011 年高考课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列? ?的前 n 项和. ?bn?
2

2 6 8 7

9×8 10×9 ×20+10×20+ ×20= 2 2

解:(1)设数列{an}的公比为 q. 1 2 2 2 2 由 a3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = . 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an

=-(1+2+…+n)=- 1 故 =-

n(n+1)
2

.

bn

1 ? 2 ?1 =-2? - ?, ?n n+1? n(n+1)

1

b1 b2

1 1 + +…+

bn

1 ?? ?? 1? ?1 1? ?1 =-2??1- ?+? - ?+…+? - ?? ?? 2? ?2 3? ?n n+1?? =- 2n . n+1

1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1 1 1 1 10.将函数 f(x)=sin x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间(0,+∞)内的全部极 4 4 2 值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 1 解:(1)f(x)=sin x·sin (x+2π )·sin (x+3π )=- sin x.其极值点为 x=kπ 4 4 2 4 π + (k∈Z). 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 π 2n-1 * ∴an= +(n-1)·π = π (n∈N ). 2 2 π n n (2)∵bn=2 an= (2n-1)·2 , 2 π 2 n-1 n ∴Tn= [1·2+3·2 +…+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 ], 2
n
*

π 2 3 n n+1 2Tn= [1·2 +3·2 +…+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 ], 2 两式相减,得 π 2 3 n n+1 -Tn= [1·2+2·2 +2·2 +…+2·2 -(2n-1)·2 ], 2 ∴Tn=π [(2n-3)·2 +3]. 11.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式;
n

(2)设 bn=

an * ,是否存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N ),使得 b1、bm、bk 成等比数列?若存在, an+1

求出所有符合条件的 m、k 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 Sn=na1+

n n-
2

d.

10×9 ? ?10a + 2 d=55, 由已知,得? 20×19 ?20a + 2 d=210. ?
1 1

? ?2a1+9d=11 即? ?2a1+19d=21 ?

,解得?

? ?a1=1, ?d=1. ?
*

所以 an=a1+(n-1)d=n(n∈N ). (2)假设存在 m、k(k>m≥2,m,k∈N ),使得 b1、bm、bk 成等比数列,则 bm=b1bk. 因为 bn=
* 2

an n = , an+1 n+1

1 m k 所以 b1= ,bm= ,bk= . 2 m+ 1 k+1 所以?

? m ?2=1× k . ? ?m+1? 2 k+1
2

2m 整理,得 k= 2 . -m +2m+1 以下给出求 m、k 的方法: 因为 k>0,所以-m +2m+1>0, 解得 1- 2<m<1+ 2. 因为 m≥2,m∈N , 所以 m=2,此时 k=8. 故存在 m=2,k=8,使得 b1、bm、bk 成等比数列.
* 2




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