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广东省中考冲刺数学试题及答案

广东省中考冲刺数学试题及答案


2016 年广东省中考冲刺数学试卷(二)
一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 1.﹣ 的绝对值等于( A.﹣ B. C. ) D.4 ) A.160° B.150° C.140° D.120° 6.某射击小组有 19 人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图,则这组数据 的众数和中位数分别是( )

2.已知一个几何体的三种视图如图所示,则这个几何体是(

A.7,7 B.8,7.5

C.7,8 D.8,7

7.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数 y=ax+b 与反 A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.正方体 比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( 3.中国航母辽宁舰(如图)是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,满载排水 量为 67500 吨,这个数据用科学记数法表示为( ) )

A.6.75×103 吨

B.6.75×104 吨

C.6.75×105 吨 )

D.6.75×10﹣4 吨 A. B.

4.下列根式中,不能与 A. B. C.

合并的是( D.

5.如图,线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB,∠CAB=20°,则∠AOD 等于(



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C.

D.

二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 8.计算:x3?x3= 9.函数 y= .

三、解答题(共 9 小题,满分 75 分) 16.解不等式组 .

中自变量 x 的取值范围是

. . 17.△ ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示.(不写解答过程,直接写出结果) (1)若△ A1B1C1 与△ ABC 关于原点 O 成中心对称,则点 A1 的坐标为 . (2)将△ ABC 向右平移 4 个单位长度得到△ A2B2C2,则点 B2 的坐标为 (3)将△ ABC 绕 O 点顺时针方向旋转 90°,则点 C 走过的路径长为 (4)在 x 轴上找一点 P,使 PA+PB 的值最小,则点 P 的坐标为 . ; ; ;

10.一个多边形的内角和为 540°,则这个多边形的边数是 11.分解因式:x2﹣(3.14﹣π)0= .

12.如图,在?ABCD 中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD 于 E,则∠DAE=

13.如图,△ ABC 中, DE 是 BC 的垂直平分线, DE 交 AC 于点 E,连接 BE. 若 BE=9,BC=12, 则 cosC= .

14.已知实数 m,n 满足 3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且 m≠n,则

=



15.如图,观察图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算 1+8+16+24+…+8n(n 是正整 数)的结果是 .
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18.水果种植大户小方,为了吸引更多的顾客,组织了观光采摘游活动.每一位来采摘水果的 顾客都有一次抽奖机会:在一只不透明的盒子里有 A,B,C,D 四张外形完全相同的卡片,抽 奖时先随机抽出一张卡片,再从盒子中剩下的 3 张中随机抽取第二张. (1)请利用树状图(或列表)的方法,表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况; (2)如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励,那么得到奖励的概率是多少?

21.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 C,与 AB 的延长线交于点 D,DE⊥AD 且 与 AC 的延长线交于点 E. 19.我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价 多 4 元,用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等. (1)文学书和科普书的单价各多少钱? (2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用 10000 元再购进一批文学书 和科普书,问购进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书? 20.如图,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A,B 两点,与 x 轴交于点 C, 与 y 轴交于点 D,已知 A(3,1),点 B 的坐标为(m,﹣2). (1)直接写出反比例函数的解析式; (2)求一次函数的解析式; (3)在 y 轴上是否存在一点 P,使得△ PDC 与△ CDO 相似?若存在求 P 点的坐标,若不存在 说明理由. 22.关于 x 的一元二次方程 4x2+4(m﹣1)x+m2=0 (1)当 m 在什么范围取值时,方程有两个实数根? (2)设方程有两个实数根 x1,x2,问 m 为何值时,x12+x22=17? (3)若方程有两个实数根 x1,x2,问 x1 和 x2 能否同号?若能同号,请求出相应 m 的取值范围; 若不能同号,请说明理由. 23.如图 1,在△ ABO 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以 OB 为一边,在△ OAB 外作 等边三角形 OBC,D 是 OB 的中点,连接 AD 并延长交 OC 于 E. (1)求点 B 的坐标; (2)求证:四边形 ABCE 是平行四边形; (3)如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG,求 OG 的长.
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(1)求证:DC=DE; (2)若 tan∠CAB= ,AB=3,求 BD 的长.

24.如图,已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E,顶点 M 的坐标为(2,4);矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合,AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上,且 AD=2,AB=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从如图所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移 动, 同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动, 设它们运动的时间为 t 秒 (0≤t≤3) , 直线 AB 与该抛物线的交点为 N(如图 2 所示). ①当 t= 时,判断点 P 是否在直线 ME 上,并说明理由; ②设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S,试问 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最 大值;若不存在,请说明理由.

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【解答】解:俯视图为圆的几何体为球,圆锥,圆柱,再根据其他视图,可知此几何体为圆锥.

2016 年广东省梅州市中考冲刺数学试卷(二)
参考答案与试题解析

故选 B. 【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力.

一、选择题(共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 1.﹣ 的绝对值等于( A.﹣ B. C. ) D.4

3.中国航母辽宁舰(如图)是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,满载排水 量为 67500 吨,这个数据用科学记数法表示为( )

【考点】绝对值. 【专题】计算题. 【分析】根据“负数的绝对值是它的相反数”解题即可. 【解答】解:|﹣ |= . 故选 B. 【点评】绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0. A.6.75×103 吨 B.6.75×104 吨 C.6.75×105 吨 D.6.75×10﹣4 吨

【考点】科学记数法—表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要 看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 >1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:67500=6.75×104. 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|

2.已知一个几何体的三种视图如图所示,则这个几何体是(



<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

4.下列根式中,不能与 A. B. C.

合并的是( D.



【考点】同类二次根式. A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.正方体 【考点】由三视图判断几何体. 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
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【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果. 【解答】解:A、 ,本选项不合题意;

B、 C、 D、 故选 C.

,本选项不合题意; ,本选项合题意; ,本选项不合题意;

【点评】此题考查了同类二次根式,熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键.

A.7,7 B.8,7.5

C.7,8 D.8,7

【考点】众数;中位数. 5.如图,线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB,∠CAB=20°,则∠AOD 等于( ) 【分析】中位数,因图中是按从小到大的顺序排列的,所以只要找出最中间的一个数(或最中 间的两个数)即可,本题是最中间的那个数;对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形 最高的数据写出. 7 环, 【解答】 解: 由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组, 故众数是 7 (环) ; A.160° B.150° C.140° D.120° 【考点】圆周角定理;垂径定理. 【专题】压轴题. 【分析】利用垂径定理得出 = ,进而求出∠BOD=40°,再利用邻补角的性质得出答案. 因图中是按从小到大的顺序排列的,第 10 个数据是 7(环),故中位数是 7(环). 故选 A. 【点评】本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.注意找中位数的时候 一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的 数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

【解答】解:∵线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD 丄 AB, ∴ = ,

∵∠CAB=20°, ∴∠BOD=40°, ∴∠AOD=140°. 故选:C. 【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识,得出∠BOD 的度数是解题关键.

7.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示,则一次函数 y=ax+b 与反 比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

6.某射击小组有 19 人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图,则这组数据 的众数和中位数分别是( )
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二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) A. B. C. 8.计算:x3?x3= x6 .

【考点】同底数幂的乘法. 【分析】直接利用同底数幂的乘法的性质求解即可求得答案. 【解答】解:x3?x3=x3+3=x6. 故答案为:x6. D. 【点评】此题考查了同底数幂的乘法.此题比较简单,注意掌握指数的变化是解此题的关键.

【考点】二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象. 【分析】根据二次函数图象开口向下得到 a<0,再根据对称轴确定出 b,根据与 y 轴的交点确 定出 c>0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况,即可得解. 【解答】解:∵二次函数图象开口方向向下, ∴a<0, ∵对称轴为直线 x=﹣ ∴b>0, ∵与 y 轴的正半轴相交, ∴c>0, ∴y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限, 反比例函数 y= 图象在第一三象限, 只有 C 选项图象符合. 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数的图形,一次函数的图象,反比例函数的图象,熟练掌握二次函 数的有关性质:开口方向、对称轴、与 y 轴的交点坐标等确定出 a、b、c 的情况是解题的关键. >0,

9.函数 y=

中自变量 x 的取值范围是 x>3 .

【考点】函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件. 【专题】计算题. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于 0,分母不等于 0,列不等式即 可求解. 【解答】解:依题意,得 x﹣3>0, 解得 x>3. 故答案为:x>3. 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式 的分母不能为 0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数是非负数.

10.一个多边形的内角和为 540°,则这个多边形的边数是 5 . 【考点】多边形内角与外角. 【分析】n 边形的内角和公式为(n﹣2)?180°,由此列方程求 n. 【解答】解:设这个多边形的边数是 n,
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则(n﹣2)?180°=540°, 解得 n=5, 故答案为:5. 【点评】本题考查了多边形外角与内角.此题比较简单,只要结合多边形的内角和公式来寻求 等量关系,构建方程即可求解.

∴∠C=∠DBC=70°, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD=70°, ∵AE⊥BD 于 E, ∴∠AED=90°,

11.分解因式:x2﹣(3.14﹣π)0= (x+1)(x﹣1) . 【考点】因式分解-运用公式法;零指数幂. 【专题】计算题;因式分解. 【分析】原式利用零指数幂法则整理后,利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式=x2﹣1 =(x+1)(x﹣1). 故答案为:(x+1)(x﹣1). 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,以及零指数幂,熟练掌握平方差公式是解本题的 关键.

∴∠DAE=20°, 故答案为:20°. 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形对边互相平行.

13.如图,△ ABC 中, DE 是 BC 的垂直平分线, DE 交 AC 于点 E,连接 BE. 若 BE=9,BC=12, 则 cosC= .

12.如图,在?ABCD 中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD 于 E,则∠DAE= 20° . 【考点】线段垂直平分线的性质;解直角三角形. 【分析】 根据线段垂直平分线的性质, 可得出 CE=BE, 再根据等腰三角形的性质可得出 CD=BD, 从而得出 CD:CE,即为 cosC. 【考点】平行四边形的性质. 【分析】根据等边对等角可得∠C=∠DBC=70°,根据平行四边形的性质可得 AD∥BC,进而得 到∠ADB=∠CBD=70°,再利用三角形内角和定理计算出∠DAE 即可. 【解答】解:∵DC=BD, 【解答】解:∵DE 是 BC 的垂直平分线, ∴CE=BE, ∴CD=BD, ∵BE=9,BC=12, ∴CD=6,CE=9,
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∴cosC=

= = ,

故答案为 . 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握 数形结合思想的应用. 【考点】规律型:图形的变化类. 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分 14.已知实数 m,n 满足 3m2+6m﹣5=0,3n2+6n﹣5=0,且 m≠n,则 【考点】根与系数的关系. 【分析】由 m≠n 时,得到 m,n 是方程 3x2+6x﹣5=0 的两个不等的根,根据根与系数的关系进 行求解. 【解答】解:∵m≠n 时,则 m,n 是方程 3x2+6x﹣5=0 的两个不相等的根,∴m+n=﹣2,mn= ﹣ . = ﹣ . 析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点. 【解答】解:图(1):1+8=9=(2×1+1)2; 图(2):1+8+16=25=(2×2+1)2; 图(3):1+8+16+24=49=(3×2+1)2; …; 那么图(n):1+8+16+24+…+8n=(2n+1)2. 故答案为:(2n+1)2. ∴原式= = = =﹣ , 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.注意此题的规律为: (2n+1)2. 故答案为:﹣ . 三、解答题(共 9 小题,满分 75 分) 16.解不等式组 .

【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:x1,x2 是一元二次方 程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣ ,x1x2= .

【考点】解一元一次不等式组;不等式的性质;解一元一次不等式. 15.如图,观察图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算 1+8+16+24+…+8n(n 是正整 数)的结果是 (2n+1)
2

【专题】计算题. 【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组 的解集即可.



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【分析】(1)利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解; 【解答】解: ∵由①得:x≤﹣1, 由②得:x<3, ∴不等式组的解集是 x≤﹣1. 【点评】本题考查了不等式的性质,解一元一次不等式(组)的应用,关键是根据不等式的解 集找出不等式组的解集,题目比较好,难度也适中. , (2)利用点的平移规律求解; (3)点 C 走过的路径为以点 O 为圆心,OC 为半径,圆心角为 90 度的弧,然后根据弧长公式 计算点 C 走过的路径长; (4)先确定点 B 关于 x 轴的对称点 B′坐标为(﹣1,﹣1),连结 AB′交 x 轴于 P 点,根据两点 之间线段最短可确定 PA+PB 的值最小,接着利用待定系数法求出直线 AB′的解析式,然后求直 线 AB′与 x 轴的交点坐标就看得到点 P 的坐标. 【解答】解: (1)若△ A1B1C1 与△ ABC 关于原点 O 成中心对称,则点 A1 的坐标为(2,﹣3); 17.△ ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示.(不写解答过程,直接写出结果) (1)若△ A1B1C1 与△ ABC 关于原点 O 成中心对称,则点 A1 的坐标为 (2,﹣3) ; (2)将△ ABC 向右平移 4 个单位长度得到△ A2B2C2,则点 B2 的坐标为 (3,1) ; (3)将△ ABC 绕 O 点顺时针方向旋转 90°,则点 C 走过的路径长为 π ; (4)在 x 轴上找一点 P,使 PA+PB 的值最小,则点 P 的坐标为 (﹣ ,0) . (2)将△ ABC 向右平移 4 个单位长度得到△ A2B2C2,则点 B2 的坐标为(3,1); (3)将△ ABC 绕 O 点顺时针方向旋转 90°,则点 C 走过的路径长= (4)B 点关于 x 轴的对称点 B′坐标为(﹣1,﹣1), 连结 AB′交 x 轴于 P 点,则 PA+PB=PA+PB′=AB′,此时 PA+PB 的值最小, 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b, 把 A(﹣2,3),B′(﹣1,﹣1)代入得 所以直线 AB′的解析式为 y=﹣4x﹣5, 当 y=0 时,﹣4x﹣5=0,解得 x=﹣ , 所以此时点 P 的坐标为(﹣ ,0). 故答案为(2,﹣3);(3,1);π;(﹣ ,0). 得 , =π;

【考点】作图-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换. 【专题】数形结合.
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【分析】此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回 实验还是不放回实验,此题为不放回实验.列举出所有情况,让抽得的两张卡片是同一种水果 图片的情况数除以总情况数即为所求的概率. 【解答】解:(1)方法一:列表得 A A B C D 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对 应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点, 顺次连接得出旋转后的图形.也考查了平移变换与最短路径问题. ﹣ (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) ﹣ (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) ﹣ (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) ﹣

方法二:画树状图

18.水果种植大户小方,为了吸引更多的顾客,组织了观光采摘游活动.每一位来采摘水果的 顾客都有一次抽奖机会:在一只不透明的盒子里有 A,B,C,D 四张外形完全相同的卡片,抽 奖时先随机抽出一张卡片,再从盒子中剩下的 3 张中随机抽取第二张. (1)请利用树状图(或列表)的方法,表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况; (2)获奖励的概率: (2)如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励,那么得到奖励的概率是多少? 【点评】此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果,适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还 要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. . 由树状图/表格可知,共有 12 种等可能结果.

【考点】列表法与树状图法.

19.我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价 多 4 元,用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等. (1)文学书和科普书的单价各多少钱?
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(2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用 10000 元再购进一批文学书 和科普书,问购进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书? 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】(1)设文学书的单价为每本 x 元,则科普书的单价为每本(x+4)元,根据用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等建立方程求出其解就可以了; (2)设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书,根据购书总价不超过 10000 元建立不等 式求出其解即可. 【解答】解:(1)设文学书的单价为每本 x 元,则科普书的单价为每本(x+4)元,依题意得: , 解得:x=8, 经检验 x=8 是方程的解,并且符合题意. ∴x+4=12. ∴购进的文学书和科普书的单价分别是 8 元和 12 元. ②设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书.依题意得 550×8+12y≤10000, 解得 ∵y 为整数, ∴y 的最大值为 466 ∴至多还能购进 466 本科普书. ,

(1)直接写出反比例函数的解析式; (2)求一次函数的解析式; (3)在 y 轴上是否存在一点 P,使得△ PDC 与△ CDO 相似?若存在求 P 点的坐标,若不存在 说明理由.

【考点】反比例函数综合题. 【专题】综合题;反比例函数及其应用. 【分析】(1)把 A 坐标代入反比例解析式求出 k 的值,即可确定出反比例解析式; (2)把 B 坐标代入反比例解析式求出 m 的值,确定出 B 坐标,由 A 与 B 坐标,利用待定系数 法确定出直线 AB 解析式即可; (3)在 y 轴上,存在一点 P,使得△ PDC 与△ CDO 相似,理由为:过点 C 作 CP⊥AB,交 y 轴于点 P,如图所示,根据直线 AB 解析式确定出 C 与 D 坐标,得到 OC,OD,DC 的长,由 三角形 PDC 与三角形 CDO 相似,得比例求出 PD 的长,由 DP﹣OD 求出 OP 的长,即可确定 出 P 坐标. 【解答】解:(1)把 A(1,3)代入反比例解析式得:3= ,即 k=3,

【点评】本题考查了列分式方程和列一元一次不等式的运用,分式方程的解法和一元一次方程 的解法的运用,解答时找到不相等关系建立不等式是关键. 则反比例解析式为 y= ; (2)∵B(m,﹣2)在反比例函数 y= 上, 20.如图,一次函数 y=ax+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A,B 两点,与 x 轴交于点 C, 与 y 轴交于点 D,已知 A(3,1),点 B 的坐标为(m,﹣2).
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∴﹣2= ,即 m=﹣ ,即 B(﹣ ,﹣2),

【点评】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定反比例解析式与一次函 把 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得: , 数解析式,相似三角形的性质,以及坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 解得: , 21.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 C,与 AB 的延长线交于点 D,DE⊥AD 且 则一次函数解析式为 y= x﹣1; (3)在 y 轴上存在一点 P,使得△ PDC 与△ CDO 相似,理由为: 过点 C 作 CP⊥AB,交 y 轴于点 P,如图所示, 与 AC 的延长线交于点 E. (1)求证:DC=DE; (2)若 tan∠CAB= ,AB=3,求 BD 的长.

【考点】切线的性质;勾股定理;解直角三角形. 【分析】(1)利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E,进而得出答案; ∵C、D 两点在直线 y= x﹣1 上, ∴C、D 的坐标分别为 C( ,0),D(0,﹣1), ∵CD 是⊙O 的切线, ∴OC= ,OD=1,DC= ∵△PDC∽△CDO, ∴ = ,即 = , ∴∠EAD+∠E=90°, 解得:PD= , ﹣1= , ∴DC=DE, 则点 P 的坐标为(0, ).
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(2)设 BD=x,则 AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x,利用勾股定理得出 BD 的长. 【解答】(1)证明:连接 OC,



∴∠OCD=90°, ∴∠ACO+∠DCE=90°, 又∵ED⊥AD,∴∠EDA=90°,

∵OC=OA,∴∠ACO=∠EAD, 故∠DCE=∠E,

∴OP=DP﹣OD=

(2)解:设 BD=x,则 AD=AB+BD=3+x,OD=OB+BD=1.5+x, 在 Rt△ EAD 中, ∵tan∠CAB= ,∴ED= AD= (3+x), 由(1)知,DC= (3+x),在 Rt△ OCD 中, OC2+CD2=DO2, 则 1.52+[ (3+x)]2=(1.5+x)2, 解得:x1=﹣3(舍去),x2=1, 故 BD=1.

(2)根据根与系数的关系得出 x1+x2=﹣ 2x1?x2=17 代入求出即可; (3)根据当 m≤ 时,方程有两个实数根和 x1+x2=﹣ >0, >0,即可得出答案.

=1﹣m,x1?x2=

,化成(x1+x2)2﹣

=1﹣m,x1?x2=

,推出 1﹣m

【解答】解:(1)∵当△ =[4(m﹣1)]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0 时,方程有两个实数根, 即 m≤ , ∴当 m≤ 时,方程有两个实数根;

(2)根据根与系数关系得:x1+x2=﹣ ∵x12+x22=17, ∴(x1+x2)2﹣2x1?x2=17, 【点评】此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识,熟练应用 切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键. ∴(1﹣m)2﹣ =17<

=1﹣m,x1?x2=



解得:m1=8,m2=﹣4, ∵当 m≤ 时,方程有两个实数根, ∴m=﹣4;

22.关于 x 的一元二次方程 4x2+4(m﹣1)x+m2=0 (1)当 m 在什么范围取值时,方程有两个实数根? (2)设方程有两个实数根 x1,x2,问 m 为何值时,x12+x22=17? (3)若方程有两个实数根 x1,x2,问 x1 和 x2 能否同号?若能同号,请求出相应 m 的取值范围; 若不能同号,请说明理由. 【考点】根与系数的关系;根的判别式. 【分析】(1)根据根的判别式,求出不等式[4(m﹣1)]2﹣4×4m2≥0 的解集即可;

(3)∵由(1)知当 m≤ 时,方程有两个实数根,由(2)知,x1?x2= ∴ >0,



∴当 m≠0,且 m≤ 时,x1 和 x2 能同号, 即 m 的取值范围是:m≠0,且 m≤ .

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【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系,注意:一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系及根与系数的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. (4)若一元二次方程有实数根,则 x1+x2=﹣ ,x1?x2= .

(2)首先可得 CE∥AB,D 是 OB 的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可证 得 BD=AD,∠ADB=60°,又由△ OBC 是等边三角形,可得∠ADB=∠OBC,根据内错角相等, 两直线平行,可证得 BC∥AE,继而可得四边形 ABCD 是平行四边形; (3)首先设 OG 的长为 x,由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x,然后根据勾股定理可得方程(8 ﹣x)2=x2+(4 )2,解此方程即可求得 OG 的长.

【解答】(1)解:在△ OAB 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8, ∴OA=OB?cos30°=8× =4 ,

23.如图 1,在△ ABO 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以 OB 为一边,在△ OAB 外作 等边三角形 OBC,D 是 OB 的中点,连接 AD 并延长交 OC 于 E. (1)求点 B 的坐标; (2)求证:四边形 ABCE 是平行四边形; (3)如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG,求 OG 的长.

AB=OB?sin30°=8× =4, ∴点 B 的坐标为(4 ,4);

(2)证明:∵∠OAB=90°, ∴AB⊥x 轴, ∵y 轴⊥x 轴, ∴AB∥y 轴,即 AB∥CE, ∵∠AOB=30°, ∴∠OBA=60°, ∵DB=DO=4 ∴DB=AB=4

【考点】翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定与 性质. 【专题】压轴题. 【分析】(1)由在△ ABO 中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,根据三角函数的知识,即可 求得 AB 与 OA 的长,即可求得点 B 的坐标;

∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°, ∴∠ADB=60°, ∵△OBC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°, ∴∠ADB=∠OBC, 即 AD∥BC,

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∴四边形 ABCE 是平行四边形;

(3)解:设 OG 的长为 x, ∵OC=OB=8, ∴CG=8﹣x, 由折叠的性质可得:AG=CG=8﹣x, 在 Rt△ AOG 中,AG2=OG2+OA2, 即(8﹣x)2=x2+(4 解得:x=1, 即 OG=1. 【点评】此题考查了折叠的性质,三角函数的性质,平行四边形的判定,等边三角形的性质, 以及勾股定理等知识.此题难度较大,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注 意折叠中的对应关系. )2, 【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)已知顶点坐标,又抛物线经过原点,用待定系数可求出抛物线解析式; (2)①根据抛物线的对称性求出 E 点坐标,再求出直线 ME 的解析式,把 t 知代入验证点 P 是否在直线 ME 上; ②最后一问设出 P,N 坐标,根据几何关系求出 PN,然后分两种情况讨论:(1)PN=0;(2) PN≠0;把求多边形面积 S 转化为求函数最值问题. 24.如图,已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E,顶点 M 的坐标为(2,4);矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合,AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上,且 AD=2,AB=3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从如图所示的位置沿 x 轴的正方向匀速平行移 动, 同时一动点 P 也以相同的速度从点 A 出发向 B 匀速移动, 设它们运动的时间为 t 秒 (0≤t≤3) , 直线 AB 与该抛物线的交点为 N(如图 2 所示). ①当 t= 时,判断点 P 是否在直线 ME 上,并说明理由; ②设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S,试问 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最 大值;若不存在,请说明理由. (2)①点 P 不在直线 ME 上. 根据抛物线的对称性可知 E 点的坐标为(4,0), 又 M 的坐标为(2,4),
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【解答】解:(1)因所求抛物线的顶点 M 的坐标为(2,4), 故可设其关系式为 y=a(x﹣2)2+4 又∵抛物线经过 O(0,0), ∴得 a(0﹣2)2+4=0, 解得 a=﹣1 ∴所求函数关系式为 y=﹣(x﹣2)2+4, 即 y=﹣x2+4x.

设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得 解得 所以直线 ME 的关系式为 y=﹣2x+8. 由已知条件易得,当 t= 时,OA=AP= , ∴P( , ) ∵P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=﹣2x+8. ∴当 t= 时,点 P 不在直线 ME 上. ②S 存在最大值.理由如下: ∵点 A 在 x 轴的非负半轴上,且 N 在抛物线上, ∴OA=AP=t. ∴点 P,N 的坐标分别为(t,t)、(t,﹣t2+4t) ∴AN=﹣t2+4t(0≤t≤3), ∴AN﹣AP=(﹣t2+4t)﹣t=﹣t2+3t=t(3﹣t)≥0, ∴PN=﹣t2+3t (ⅰ)当 PN=0,即 t=0 或 t=3 时,以点 P,N,C,D 为顶点的多边形是三角形,此三角形的高 为 AD, ∴S= DC?AD= ×3×2=3. (ⅱ)当 PN≠0 时,以点 P,N,C,D 为顶点的多边形是四边形 ∵PN∥CD,AD⊥CD, ∴S= (CD+PN)?AD= [3+(﹣t2+3t)]×2=﹣t2+3t+3=﹣(t﹣ )2+ . ,

综上所述,当 t= 时,以点 P,N,C,D 为顶点的多边形面积有最大值,这个最大值为 说明:(ⅱ)中的关系式,当 t=0 和 t=3 时也适合.



【点评】此题考查用待定系数求函数解析式,用到顶点坐标,第二问是研究动点问题,点动图 也动,根据几何关系巧妙设点,把面积用 t 表示出来,转化为函数最值问题.

其中(0<t<3),由 a=﹣1,0< <3,此时 S 最大=

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