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1.3.2(3)函数的奇偶性习题课

1.3.2(3)函数的奇偶性习题课


习题课2

复习回顾
1、奇函数、偶函数的定义: 2、 函数是奇函数的充要条件是: 函数是偶函数的充要条件是: 3、判断函数奇偶性的步骤: 4、如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为 8 奇函数, 则a=_____ 5、若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)= 0 . 6、若y=f(x)是偶函数,则f(x)与f(|x|)的大小关 系是 f(x)=f(|x|) .

观察下面函数图像,是奇函数还是偶函数?
y y

1

x

-1

1

x

f ( x) ? x2 x ? (??,1]
y

f ( x) ? x 2 x ? (??, ?1] [1, ??)
y

-2

-2
o
2

x

o

3

x

f ( x) ? x, x ? [?2,2]

f ( x) ? x, x ? ?? 2,3?

将下面的函数图像分成两类
y y y y y

y

O

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

x

奇函数

偶函数

一、抽象函数
例1 : 已知定义在(- 1 , 1)上的奇函数 f ( x)

是减函数且f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0,
2

求实数a的取值范围。
解: ∵f(1-a)+f(1-a2)<0, ∴f(1-a)<-f(1-a2), ∵f(x)为奇函数, ∴f(1-a)<f(a2-1), 又∵f(x)在(-1,1)上为减函数, -1<1-a<1. -1<a2-1<1 解得0<a<1 ∴ 1-a>a2-1

?

练习:
已知函数f ( x)是奇函数,其定义域为 ( - 1,1)且在[0,1)上为增函数,若 f (a ? 2) ? f (3 ? 2a) ? 0, 试求实数a的 取值范围。

例2:定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x ? ≥ 0时,
g(x)为 减 增 函数,若g(1-m)<g(m)成立,求m的 取值范围.

解: ∵函数g(x)在[-2,2]上是偶函数,
则由g(1-m)<g(m),可得 g(|1-m|)<g(|m|), 又当 x≥0时, g(x)为减函数, ∴x≥0时,g(x)为减函数, ∵x 0时, g(x)为增函数, ? ∴

?

- 2 ? 1- m ? 2 -2 ? m ? 2 1- m ? m

1 ? -1 ? m ? 2

练习:
f ( x)为增函数,若 f (1 ? m) ? f (m)成立, 求实数m的取值范围。

定义在[?1,1]上的偶函数f ( x),当x ? [0,1]时,

解:

?

?1 ? 1 ? m ? 1 ?1 ? m ? 1

1? m ? m

1 ? ?1 ? m ? ? 2

二、奇偶性的证明
例2:函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)求证:f(x)为奇函数.

证明: 令a=0, 则f(b)=f(0)+f(b), ∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b)得 f(-x+x)=f(-x)+f(x), 即0=f(-x)+f(x), ∴f(-x)= -f(x), ∴f(x)为奇函数.

评析:证明函数的奇偶性,即证f(-x)=-f(x)或
f(-x)=f(x)成立.这需要对给定函数方程中的a,b赋 值,使其变成含f(x),f(-x)的式子,然后判定.

练习:
已知函数f ( x),当x, y ? R时 恒有f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ), (1)求证:f ( x)是奇函数 (2)若f (?3) ? a, 试用a表示f (12) (3)如果x ? 0时,f ( x) ? 0 试判断f ( x)的单调性

三、函数的综合应用
3

1.函数f ( x) ? ax ? bx ? ( 3 a, b不为零), 且f (5) ? 10, 则f (?5)等于()

拓展: .已知g ( x)为定义R上的奇函数, 函数f ( x) ? g ( x) ? 3,且f (5) ? 10, 则 f (?5)等于()

练习:
2.已知函数f ( x) ? x ? x , x ? R.
2

(1)判断函数的奇偶性;

(2)画出草图,并指出该函数的单调性;

练习:

ax ? b 3.函数f ( x) ? 是定义在( - 1,1 )上的奇函 2 1? x 1 2 数,且f ( ) ? 。 2 5 ( 1 )确定函数f ( x)的解析式;

(2)用定义证明f ( x)在( - 1,1 )上是增函数;

(3)解不等式f (t ? 1) ? f (t ) ? 0;



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